《反函数新教材》PPT课件

指数函数与对数函数对照表名称指数函数对数函数解析式图象定义域值域单调性定点图像关系R(0,+∞)(0,+∞)Ry=ax(a1)在R上是增函数在(0,+∞)上是增函数y=logax(a1)y=logax(0a1)xyoxyoy=ax(0a1)(0,1)(1,0)在R上是减函数在(0,+∞)上是减函数a1y=axy=logax0a1函数y=ax与y=logax图象关于直线y=x对称问题:那么这两个函数有什么关系呢?54321-1-2-4-2246(a1)y=logax(a1)y=ax4321-1-2-4-2246y=logaxy=ax0a10a1一般地，函数y=f(x)(x∈A)中设它的值域为C.我们根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就表示以y为自变量的函数.这样的函数x=φ(y)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y).我们常常把x，y对调一下，把它改成y=f-1(x).探究一——反函数定义名称原来函数反函数解析式定义域值域图象y=f(x)y=f-1(x)ACCA反函数与原来函数的联系:它们的图象关于直线y=x对称例1、求下列函数的反函数：（1）y＝3x－1；（2）y＝＋1（x≥0）；（3）；(4).x12log(4)yx132xy探究二——求一个函数的反函数1、反解：y=f(x))(1yfx4、写定义域：根据原来函数的值域，写出反函数及其定义域.3、互换：x、y互换位置，得y=f-1(x)求反函数的步骤：2、求原函数的值域探究三——不是所有函数都有反函数对一）函数才有反函数。（一只有在定义域上单调的没有反函数。例如：2xy探究四——互为反函数的两个函数图象关于y=x对称探究五——点P(a,b)在函数y=f(x)图象上，则点P’(b,a)在函数y=f-1(x)图象上探究六——互为反函数的两个函数单调性相同52xyyxxm例2．已知函数的图象关于直线对称，求m的值。例3.若点P（1，2）同时在函数y＝及其反函数的图象上，求a、b的值.axb若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数,求证它的反函数f-1(x)也是增函数。证明：在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1x2令f-1(x1)=y1,f-1(x2)=y2于是有f(y1)=x1;f(y2)=x2所以f(y1)f(y2)因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1y2所以f-1(x1)f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函数1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性。3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数.4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的反函数就是它本身.反之也成立。5.点P（a，b）关于直线y=x对称的点是P1（b，a）.性质：abfbaf16.例2、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。解：从y=3x-2，解得。因此，函数y=3x-2的反函数是32yx)(,32Rxxy函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数的图象如图Rxxy,32oxyY=xY=3x-232xy1例3、求函数y=x3（x∈R）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象。解：从y=x3，解得，所以函数y=x3（x∈R）的反函是。函数y=x3（x∈R）和它的反函数的图像如图3yxRxxy3Rxxy3yx0例4：若点P（1，2）在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。baxy解：由题意知,点P(1,2)在函数的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数的图象上。baxybaxy解得，a=-3，b=7baba212因此，得例5、若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且f（x）=（x-1）2（x≤1）求g（x2）解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称∴g（x）是f（x）的反函数，∴g（x）=f-1（x）=)0(1xx)(1)(22Rxxxg