华师八上第13章全等三角形能力培优

1第13章全等三角形13.2三角形全等的判定专题一与全等三角形有关的规律探究1.如图，已知AB=AC，D为∠BAC的平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是________.2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交CD、AC分别于G、E，GF∥AC交AB于F，猜想：EF与AB有怎样的位置关系，请说明理由．3.如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N.（1）那么∠1与∠2有什么关系？AM，CN有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？请说明理由．专题二全等三角形与图形变换4.两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）．5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．6.在△ABC中∠BAC是锐角，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点H，垂足分别为D、E，且DB=DC,AE=BE.（1）求证：AH=2BD；（2）若将∠BAC改为钝角，其他条件不变，上述的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2专题三利用三角形全等解决实际问题7.如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点），相距25km，C、D为铁路同旁的两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产产品收购站E，使C、D两村庄到E站的距离相等，求E站应建在离A站多远处，并说明理由.13.3等腰三角形专题一与等腰三角形有关的探究题1.设a、b、c是三角形的三边长，且cabcabcba222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个2.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=1，则△A2013B2013A2014的边长为（）A.2013B.2014C.20122D.201323.如图,在△AB1A中,∠B＝20°,AB＝1AB，在1AB上取一点C,延长1AA到2A,使得12AA＝1AC;在2AC上取一点D,延长12AA到3A,使得23AA＝2AD;……，按此做法进行下去,求∠nA的度数.4.如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．5.如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．OMNB1A1B2B3A2A3A43专题二等腰（边）三角形中的动点问题6.已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.7.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．8.阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：12AB•r1+12AC•r2=12AB•h，∴r1+r2=h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_____．若不存在，请说明理由．13.4尺规作图专题作图应用题1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）42.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30°B．45°C．60°D．90°2题3题3.如图，四边形ABCD是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点P的位置，现在轮到你打，你应该把在点Q位置的白球打到AB边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？4.如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）5.如图，△ABC与△ABC关于直线MN对称，△ABC与△ABC关于直线EF对称.（1）画出直线EF（尺规作图）；（2）设直线MN与EF相交于点O，夹角为α，试探求∠BOB与α的数量关系.13.5逆命题与逆定理专题线段垂直平分线与角平分线的综合应用1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上.其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个1题2题2.如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10cm，CA=4cm．则△OBC的面积为________cm2．3.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．13.2参考答案1.(1)2nn【解析】全等三角形依次有1对，3对，6对…，第n个图形有(1)2nn对.2.解：EF⊥AB.理由如下：∵BE平分∠ABC，∴∠CBG=∠FBG.∵GF∥AC，∴∠A=∠GFB.∵∠A+∠ACD=∠BCG+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCG=∠GFB.又∵BG=BG，∴△FBG≌△CBG.∴BF=BC.∵EB=EB，∠CBE=∠FBE，∴△FBE≌△CBE，∴∠EFB=∠ECB=90°.∴EF⊥AB.3.解：（1）∠1=∠2，AM=CN.理由如下：∵AB=CD，AD=BC，AC=CA,∴△ABC≌△CDA.∴∠DAC=∠BCA.又∵AO=CO，∠CON=∠AOM，5∴△AOM≌△CON.∴∠1=∠2，AM=CN.（2）成立，同理可证△AOM≌△CON.4.解：△BAE≌△CAD.证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.又∵AB=AC，AE=AD，∴△BAE≌△CAD.5.解：BE=EC，BE⊥EC．证明：∵AC=2AB，AD=CD，∴AB=AD=CD．∵∠EAD=∠EDA=45°，∴∠EAB=∠EDC=135°.∵EA=ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，∴∠BEC=∠AED=90°，∴BE=EC，BE⊥EC．6.解：（1）证明：如图（1），∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEH=∠BEC=90°,∴∠EAH+∠C=∠EBC+∠C=90°，∴∠EAH=∠EBC.又∵AE=BE，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC.又∵DB=DC,∴AH=2BD.（2）成立.同理可证△AEH≌△BEC.7.解：E站应建在离A站10km处.理由如下：在线段AB上截取AE=BC=10km，又因为AB=25km，所以BE=AB-AE=25-10=15(km)，所以AD=BE=15km.在△ADE和△BEC中，,90,,ADBEABAEBC所以△ADE≌△BEC（SAS）.所以DE=EC.13.3参考答案1.C【解析】由cabcabcba222得：222()()()0abbcac，所以000abbcac，所以abc，所以②、③是真命题，故选C.2.C【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠1=60°.∵∠MON=30°，∴∠2=30°=∠MON，∴A1B1=OA1=1=A1A2.同理可证：A2B2=OA2=2，A2A3=OA2=2，A3A4=OA3=4=22，A4A5=OA4=8=32.以此类推：A2013B2013A2014=22012．故选C．3.解：如图，在△AB1A中，∵∠B＝20°,AB＝1AB，∴∠1AAB＝80°.在△12AAC中，∵12AA＝1AC，∴∠12AAC＝112AAB＝1802＝211802＝40°.在△23AAD中,∵23AA＝2AD,∴∠23AAD＝1212AAC＝118022＝311802＝20°.依此类推,得∠nA的度数为11802n.故∠nA的度数为1n-11808022n或.4.解：（1）∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，∴∠OCD=90°，CO=CD，∴△COD是等腰直角三角形；（2）△BOD为等腰三角形．理由如下：∵△COD是等腰直角三角形，∴∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°，∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．∴△BOD为等腰三角形．5.解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，∴△ODE是等边三角形；（2）BD=DE=EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，同理可证EC=EO.∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．66.60°，60°，60°.证明:∵BM=CN；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.Δ