算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习题答案

习题11.图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（LeonhardEuler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。七桥问题属于一笔画问题。输入：一个起点输出：相同的点1，一次步行2，经过七座桥，且每次只经历过一次3，回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法1.r=m-n2.循环直到r=02.1m=n2.2n=r2.3r=m-n3输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。//采用分治法//对数组先进行快速排序//在依次比较相邻的差#includeiostreamusingnamespacestd;intpartions(intb[],intlow,inthigh){图1.7七桥问题北区东区岛区南区intprvotkey=b[low];b[0]=b[low];while(lowhigh){while(lowhigh&&b[high]=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while(lowhigh&&b[low]=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];returnlow;}voidqsort(intl[],intlow,inthigh){intprvotloc;if(lowhigh){prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴qsort(l,low,prvotloc-1);//递归调用排序由low到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high);//递归调用排序由prvotloc+1到high}}voidquicksort(intl[],intn){qsort(l,1,n);//第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}intmain(){inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};intvalue=0;//将最小差的值赋值给valuefor(intb=1;b11;b++)couta[b]'';coutendl;quicksort(a,11);for(inti=0;i!=9;++i){if((a[i+1]-a[i])=(a[i+2]-a[i+1]))value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}coutvalueendl;return0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和C++描述。#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){inta[]={1,2,3,6,4,9,0};intmid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它for(inti=0;i!=4;++i){if(a[i+1]a[i]&&a[i+1]a[i+2]){mid_value=a[i+1];coutmid_valueendl;break;}elseif(a[i+1]a[i]&&a[i+1]a[i+2]){mid_value=a[i+1];coutmid_valueendl;break;}}//forreturn0;}5.编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){doublevalue=0;for(intn=1;n=10000;++n){value=value*10+1;if(value%2013==0){coutn至少为:nendl;break;}}//forreturn0;}6.计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){doublea,b;doublearctan(doublex);//声明a=16.0*arctan(1/5.0);b=4.0*arctan(1/239);coutPI=a-bendl;return0；}doublearctan(doublex){inti=0;doubler=0,e,f,sqr;//定义四个变量初sqr=x*x;e=x;while(e/i1e-15)//定义精度范围{f=e/i;//f是每次r需要叠加的方程r=(i%4==1)?r+f:r-f;e=e*sqr;//e每次乘于x的平方i+=2;//i每次加2}//whilereturnr;}7.圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){intvalue,k=1;cinvalue;for(inti=2;i!=value;++i){while(value%i==0){k+=i;//k为该自然数所有因子之和value=value/i;}}//forif(k==value)cout该自然数是完美数endl;elsecout该自然数不是完美数endl;return0;}8.有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成甲每次分别带着乙丙丁过桥例如：第一趟：甲，乙过桥且甲回来第二趟：甲，丙过桥且甲回来第一趟：甲，丁过桥一共用时19小时9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？设最初两个数较大的为a,较小的为b，两个数的最大公约数为factor。则最终能出现的数包括:factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。如果a/factor是奇数，就选择先行动；否则就后行动。习题21．如果T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))，解答下列问题：（1）证明加法定理：T1(n)＋T2(n)=max{O(f(n)),O(g(n))}；（2）证明乘法定理：T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n))；（3）举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。,（1）（2）（3）比如在for（f(n)）{for(g(n))}中应该用乘法定理如果在“讲两个数组合并成一个数组时”，应当用加法定理2．考虑下面的算法，回答下列问题：算法完成什么功能？算法的基本语句是什么？基本语句执行了多少次？算法的时间复杂性是多少？（1）intStery(intn){intS=0;for(inti=1;i=n;i++)S=S+i*i;returnS;}（2）intQ(intn){if(n==1)return1;elsereturnQ(n-1)+2*n-1;}（1）完成的是1-n的平方和基本语句：s+=i*i，执行了n次时间复杂度O（n）（2）（2）完成的是n的平方基本语句：returnQ(n-1)+2*n–1，执行了n次时间复杂度O（n）3.分析以下程序段中基本语句的执行次数是多少，要求列出计算公式。（1）基本语句2*in执行了n/2次基本语句y=y+i*j执行了2/n次一共执行次数=n/2+n/2=O（n）（2）基本语句m+=1执行了(n/2)*n=O(n*n)4.使用扩展递归技术求解下列递推关系式：（1）1)1(314)(nnTnnT（2）1)3(211)(nnnTnnT(1)intT(intn){if(n==1)return4;elseif(n1)return3*T(n-1);}(2)intT(intn){if(n==1)return1;elseif(n1)return2*T(n/3)+n;}5.求下列问题的平凡下界，并指出其下界是否紧密。（1）求数组中的最大元素；（2）判断邻接矩阵表示的无向图是不是完全图；（3）确定数组中的元素是否都是惟一的；（1）for(i=1;i=n;i++)if(2*i=n)for(j=2*i;j=n;j++)y=y+i*j；（2）m=0;for(i=1;i=n;i++)for(j=1;j=2*i;j++)m=m+1;（4）生成一个具有n个元素集合的所有子集(1)Ω(n)紧密？(2)Ω(n*n)(3)Ω(logn+n)（先进行快排，然后进行比较查找）(4)Ω(2^n)7．画出在三个数a,b,c中求中值问题的判定树。8．国际象棋是很久以前由一个印度人Shashi发明的，当他把该发明献给国王时，国王很高兴，就许诺可以给这个发明人任何他想要的奖赏。Shashi要求以这种方式给他一些粮食：棋盘的第1个方格内只放1粒麦粒，第2格2粒，第3格4粒，第4格8粒，……，以此类推，直到64个方格全部放满。这个奖赏的最终结果会是什么样呢？#includeiostreamusingnamespacestd;intmain(){longdoubleresult=1;doublej=1;for(inti=1;i=64;++i){j=j*2;result+=j;j++;}coutresultendl;return0;}ababc是是是否否否acbcbacbcCbabcaacCabacb否否是是习题31．假设在文本ababcabccabccacbab中查找模式abccac，写出分别采用BF算法和KMP算法的串匹配过//BF算法#includeiostreamusingnamespacestd;intBF(charS[],charT[]){intindex=0;inti=0,j=0;while((S[i]!='\0')&&(T[j]!='\0')){if(S[i]==T[j]){i++;j++;}else{++index;i=index;j=0;}}if(T[j]=='\0')returnindex+1;elsereturn0;}intmain(){chars1[19]=ababcabccabccacbab;chars2[7]=abccac;coutBF(s1,s2)endl;return0;}//KMP算法#includeiostreamusingnamespacestd;voidGetNext(charT[],intnext[])//求模式T的next值{int