固体物理-能带理论

第四章能带理论能带理论——研究固体中电子运动的主要理论基础——定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点——晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距——说明了导体、非导体的区别——半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展能带理论——单电子近似的理论单电子近似——最早用于研究多电子原子——哈特里－福克自洽场方法能带理论的出发点——电子不再束缚于个别的原子而在整个固体内运动——共有化电子每个电子的运动——看成是独立的在一个等效势场中的运动共有化电子的运动状态理想晶体——晶格具有周期性，等效势场具有周期性——电子在晶格周期性的等效势场中运动波动方程22()2VEmr()()nVVrrR晶格周期性势场——假定原子实处在平衡位置把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理第一步简化——绝热近似离子实质量比电子大，运动慢离子固定在瞬时位置上第二步简化——利用哈特里一福克自治场方法——多电子问题简化为单电子问题——每个电子在离子势场和其它电子的平均场中运动一维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理第三步简化——周期性势场所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理能量本征值的计算——选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合晶体中的电子的波函数按此函数集合展开——将电子的波函数代入薛定谔方程确定展开式中的系数应满足的久期方程求解久期方程得到能量本征值三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理电子波函数的计算——根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数得到具体的波函数——在不同的能带计算模型和方法中采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合能带理论的局限性一些过渡金属化合物晶体——价电子的迁移率小自由程与晶格常数相当__电子不为原子所共有周期场失去意义__能带理论不适用了非晶态固体——非晶态固体和液态金属只有短程有序两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果电子与电子之间的作用——从多体问题的角度电子之间的相互作用不能简单地用平均场代替——金属中的价电子系统__不能用电子气来描述了必须把价电子系统看成量子液体电子与晶格之间的作用——电子和晶格相互作用在离子晶体中电子的运动会引起周围晶格畸变电子带着这种畸变一起前进的——电子不再是在周期场中的运动04_01布洛赫定理22()()()2VEmrrr——方程的解具有以下性质()()ninekRrRr——布洛赫定理布洛赫定理——势场具有晶格周期性时电子的波函数满足薛定谔方程()Vr()()ninekRrRr——布洛赫定理为一矢量——当平移晶格矢量——波函数只增加了相位因子晶格周期性函数()()ikeukrrr()()kkuurRr电子的波函数——布洛赫函数布洛赫定理的证明——引入平移算符证明平移算符与哈密顿算符对易两者具有相同的本征函数——利用周期性边界条件确定平移算符的本征值给出电子波函数的形式——势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量势场不变——在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符321,,TTT平移任意晶格矢量对应的平移算符312112233()()()()mmmmTTTTRaaa作用于任意函数——平移算符作用于周期性势场平移算符的性质各平移算符之间对易对于任意函数TTTT平移算符和哈密顿量对易对于任意函数和微分结果一样HTHT——平移算符的本征值T和H存在对易关系——具有共同本征函数112233HETTT——周期性边界条件对于3323liNe对于对于2222liNe1121liNe——整数——引入矢量312123123lllNNNkbbb——倒格子基矢满足2ijijab平移算符的本征值312123,,iiieeekakaka112233212223liNliNliNeee312123,,iiieeekakaka将作用于电子波函数112233()()immmekaaar平移算符的本征值()()ikeukrrr()()mimekRrRr——布洛赫定理电子的波函数满足布洛赫定理——晶格周期性函数——布洛赫函数平移算符本征值的物理意义1)——原胞之间电子波函数相位的变化312123,,iiieeekakaka2)平移算符本征值量子数——简约波矢——不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同312123123lllNNNkbbb3)简约波矢改变一个倒格子矢量112233nnnnGbbb平移算符的本征值mimekRrRr——布洛赫定理——本征值相同为了使简约波矢的取值和平移算符的本征值一一对应22jjjbbk312123123lllNNNkbbb简约波矢第一布里渊区体积——取值限制第一布里渊区简约波矢——在空间中第一布里渊区均匀分布的点3)2(cVNN33)2()2(每个代表点的体积状态密度简约布里渊区的波矢数目固体体积312123123lllNNNkbbb04_02一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型和微扰计算近自由电子近似模型——假定势场的起伏较小——金属中电子受到原子实周期性势场的作用零级近似——用势场平均值代替原子实产生的势场——周期性势场的起伏量可以作为微扰来处理)(xVVVVxV)(零级近似下电子的能量和波函数——空格子中电子的能量和波函数金属的线度零级近似下薛定谔方程波函数和能量本征值VmkEk222001()ikxkxeL满足正交归一化Nalk20*00Lkkkkdx——l为整数周期边界条件电子的波矢取值——能量VmkEk2220微扰下电子的能量本征值哈密顿量量子力学微扰理论——电子的能量本征值.)2()1(0kkkkEEEE一级能量修正)0(111()LikkxikxeVxedxLLEV0能量本征值.)2()1(0kkkkEEEE二级能量修正2(2)00kkkkkHkEEE——按原胞划分积分————引入积分变量nax势场是晶格周期性函数:0a1)2)22klNaklNa2()20kknkVxkVnakknkVxka——V(x)第n个傅里叶系数2()20kknkVxkVnakknkVxka二级修正项2(2)00''kkkkkHkEEE2(2)222'22nknVEnkkma——电子的能量本征值222222'222nknVkEVmnkkma微扰下电子的波函数电子的波函数.)()()()1(0xxxkkk波函数的一级修正0()(1/)ikxkxLe(1)0'00''''kkkkkkHkEE——计入微扰电子的波函数222211()22nixikxikxnaknVxeeeLLnkkma22221()122nixikxaknnnxeVekkmaL令可以证明()(1/)()ikxkkxLeux电子波函数——具有布洛赫函数形式电子波函数的意义1)电子波函数和散射波——前进的平面波——势场作用产生的散射波散射波的波矢相关散射波成份的振幅相邻原子的散射波有相同的相位散射波na2电子入射波波长——布拉格反射条件在正入射时的结果波函数一级修正项222[(2)]2nVnkkma散射波成份的振幅2222122nixikxnanVeeLnkkma——微扰法不再适用了入射波波矢2)电子波函数和不同态之间的相互作用在零级波函数中掺入其它零级波函数——能量差越小掺入部分越大201()nikxakxeL当时两个状态具有相同的能量——导致了波函数的发散电子能量的意义2(2)222'22nknVEnkkma(2)kE二级能量修正当——电子的能量是发散的——k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并电子波矢在附近的能量和波函数简并微扰——波函数由简并波函数线性组合构成状态)1(ank——是一个小量——主要影响的态——只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响0状态对状态的影响kk简并波函数00()kkxab薛定谔方程0()()()HxHxEx应用00000000kkkkkkHEandHE分别以或从左边乘方程，对x积分利用线性代数方程0*000knnkEEaVbVaEEba,b有非零解0000'0kkkkaEEVbEEV1)00kknEEV波矢k离较远，k状态的能量和状态k’差别较大2000021()42kkkknEEEEEV将按展开)1(ank(1)nka能量本征值2000000221()12()nkkkkkkVEEEEEEE20002000nkkknkkkVEEEEVEEEk和k’能级相互作用——原来能级较高的k’提高原来能级较低的k下压量子力学中微扰作用——两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了原来较低的能量降低了20002000nkkknkkkVEEEEVEEE——能级间“排斥作用”——原来能级较高的k’提高原来能级较低的k下压20002000nkkknkkkVEEEEVEEE2)00kknEEV波矢k非常接近，k状态的能量和k’能量差别很小将按展开220000142kkkknEEEEEV)1(ank(1)nka00200()1224kkkknnEEEEEVV结果分析222121nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV1)两个状态k和k’微扰后——能量变为E+和E-原能量高的态，能量提高；原能量低的态能量降低两个相互影响的状态k和k’微扰后——能量变为E+和E-222121nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV2)当0时nnVTVEnnVTVE两种情形下完全对称的能级——A和B两个状态作用后的能级——C和D两个状态作用后的能级3)能带和带隙____禁带——零级近似，电子能量曲线为抛物线VmkEk222000kknEEV——k状态不计二级能量修正2222'22nnVnkkma——微扰情形，电子的k不在附近/na3)能带和带隙____禁带VmkEk222——抛物线222222'222nknVkEVmnkkma0电子的一个状态波矢存在一个状态——两个态的能量相同电子的一个状态波矢存在一个状态——两个状态的能量相近由于周期性势场的微扰能量的突变2nV——微扰只考虑两个态的作用kna能量本征值在处断开222121nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV