固体物理习题整理

第一章1.矢量a，b，c构成简单正交系。证明晶面族)(hkl的面间距为222)()()(1clbkahdhkl解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：kajaiacba321由此可求得其倒格子基矢为：kkaaaaabjjaaaaabiiaaaaabcababcbacabcabcabc2)(2][][22)(2][][22)(2][][2321213321132321321根据倒格子矢量的性质有：32122bbbKlkhdhklhkl222)()()(12222clbkahlckbhakji2.平面正六角形晶格（见图5.30），六角形2个对边的间距是a，其基矢为jiaaa2321；jiaaa2322试求：（1）倒格子基矢；（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区；（3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？解：（1）由题意可取ka3，那么根据倒格子基矢的定义有yxO1a2a图5.30)31(2)(2321321jiaaaaaba)31(2)(2321132jiaaaaaba（2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图5.2所示第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区图5.2平面正六边形晶格的布里渊区示意图（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为)(21*321kbbVVV2238])31(2[)31(2aaakjiji3.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：)(2)(2)(2321kjiakjiakjiaaaa根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：1b2b)(2][2)(2][2)(2][2213132321jiaabkiaabkjaabaaa由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。第二章1.在一维双原子链中，如1/mM，（1）求证：qaMsin21；2122)cos1(2qaMmm。（2）画出与q的关系图（设10/mM）。解：（1）在一维双原子链中，其第n2个原子与第12n个原子的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm…………………（1）为解方程组（1）可令])12[(12])2[(2tqanintqaninBexAex…………………（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm…………………（3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM可解出得qamMmMmM222sin4)()(……………（4）当（4）式中取“－”号时，有212221)sin)(41(1)(qamMMmmMmM……………（5）∵1/mM，∴（5）式中有mMmMMmmM)(，1sin4sin4sin)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（5）式可简化为qaMqaMmmqaMmm2221221sin2)sin4211(1)sin41(1∴qaMsin21当（4）式中取“＋”号时，有212222cos)(41)()(qamMMmMmmMMmmM……………（6）∵1/mM，∴（6）式中有mMmMMmmM)(，mMmMMmmM)(1cos4cos4cos)(422222qaMmqaMMmqamMMm那么（6）式可简化为)cos1(2)cos4211()cos41(2221222qaMmmqaMmmmqaMmmm∴2122)cos1(2qaMmm（2）当10/mM时，则（4）式可化为qammm222222sin521001211011此时，与q的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：ω图3.5一维双原子链振动的色散关系曲线2.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界aq2处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图像。解：设第n2个原子为轻原子，其质量为m，第12n个原子为重原子，其质量为M，则它们的运动方程为)2()2(12222212221212222nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm…………………（1）为解方程组（1）可令])12[(12])2[(2tqanintqaninBexAex…………………（2）将（2）式代入（1）式可得出0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAqaMBqamAm…………………（3）从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得0sin4)(2224qamMmM可解出得qamMmMmM222sin4)()(……………（4）令aq2，则可求得声学支格波频率为M2，光学支格波频率为m2m5/m5/m/2m5/11由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为0/2/2/cos2MmmqaBA由此可知，声学支格波中所有轻原子m静止。而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为0/2/2/cos2mMMqaAB由此可知，光学支格波中所有重原子M静止。此时原子振动的图像如下图3.6所示：(a)(b)轻原子重原子图3.6（a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图3.从一维双原子晶格色散关系出发，当m逐渐接近M和Mm时，在第一布里渊区中，晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。解：一维双原子晶格的色散关系为qamMmMmM222sin4)()(由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线qωOa2aa2a由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即aq2处，声学波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当Mm时，则声学波的频率和光学波的频率在aq2处相等，都等于M2。而在一维单原子链中，其色散关系为2sin422qaM，由此可见，在一维单原子链中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即aq处，其格波频率为M2，是双原子链的格波在布里渊边界的频率值的2倍。第三章1.一维周期场中电子的波函数)(xk应当满足布洛赫定理。若晶格常数为a，电子的波函数为（1）xaxksin)(；（2）xaixk3cos)(；（3）ikiaxfx)()(（其中f为某个确定的函数）。试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成)()(xuexkikxk，其中，)()(xuaxukk或写成)()(xeaxkikak（1）)(sinsin)(xaxaaxaxkk故1ikaeak)(sin)(xuexaeexkxaixaixaik显然有)()(xuaxukk故xaxksin)(的波矢是a。（2）)(3cos)(3cos)(xaxiaaxiaxkk所以1ikaeak)(3cos)(xueaxieexkxaixaixaik显然有)()(xuaxukk故xaixk3cos)(的波矢a。（3）)()(])1([)()(xmaxfaixfiaaxfaxkmiik故1ikae0k)()()(00xueiaxfexkxiiaik故ikiaxfx)()(的波矢为0。2.已知一维晶体的电子能带可写成：)2cos81cos87()(22kakamakE。式中a是晶格常数。试求（1）能带的宽度；（2）电子在波矢k的状态时的速度；（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）在能带底0k处，电子能量为0)0(E在能带顶ak处，电子能量为222)(maaE故能带宽度为222)0()(maEaEE（2）电子在波矢k的状态时的速度为)2sin41(sin1)(kakamadkdEkv（3）电子的有效质量为kakamdkEdm2cos21cos/222*于是有在能带底部电子的有效质量为mm2*1在能带顶部电子的有效质量为mm32*23.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为)(2),(222yxyxkkmkkE。试求：（1）能量E～dEE之间的状态数；（2）此二维系统在绝对零度的费米能量；（3）电子的平均能量。解：（1）K空间中，在半径为k和kkd的两圆面之间所含的状态数为kkkkdLdLdZ224222…………………………（1）这也就是能量在E～dEE之间的状态数，由电子的能量表达式可得dEmdEEmmEd2222122kk………………（2）将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量在E～dEE之间的状态数为dEmLdEmLdZ222222（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为22)(mLdEdZE在绝对零度下，由下式022022000)(FEEEmLdEmLdEENFF由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为220mLNEF（3）电子的平均能量为00022001)(1FFEEEdEmLNdEEENE02222222212)(211FEmLNmLNmLN4..用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为)2cos2cos2cos2cos2cos2(cos4)(0akakakakakakJAEkExzzyyx并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带)(kE的表达式可写为近邻sskJeAEkERR0)(上式中sE0，0)]()([)(2ξξξξdVUAi，0)()]()()[(*ξξξξRξdVUJisi（其中)(ξU表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和；)(ξV为最近邻格点的原子势场；sR为最近邻格点的位矢）。对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为（2a，2a，0），（2a，2a，0），（2a，2a，0），（2a，2a，0）（2a，0，2a），（2a，0，2a），（2a，0，2a），（2a，0，2a）（0，2a，2a），（0，2a，2a），（0，2a，2a），（0，2a，2a）将上述的12套坐标值代入上述的)(