勾股定理典型解题技巧及练习

专题复习一勾股定理常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、常见平方数：121112；144122；169132；196142；225152；256162289172；324182；361192；400202；441212；484222529232；576242；625252；676262；7292724、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由a2+b2=c2可得a2=c2-b2=(c+b)(c-b)（平方差公式）例如，已知c=61,b=60,则a2=c2-b2=(61+60)(61-60)=121,则a=11已知c=41,b=40,则a2=c2-b2=(41+40)(41-40)=81,则a=9已知c=17,b=8,则a2=c2-b2=(17+8)(17-8)=25x9=52x32=(5x3)2则a=5x3=155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。如图，CD为斜边AB的中线，过D作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F在RT▲ADE和RT▲DBF中，DAE=BDF,AD=DBADE=DBFRT▲ADE≌RT▲DBF∴EA=FD,有因CEDF为矩形，∴FD=CE=EA=1/2CART▲ADE≌RT▲CDE∴CD=AD=DB=1/2AB6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交于一点。该点称三角形的内心（内切圆圆心）。9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。该点称三角形的垂心10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。该点称三角形的重心。11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。该点称三角形的外心（外接圆圆心）。12、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，︱a-b︱﹤c﹤a+b13、三角形面积计算公式：S=21底边长x高14、垂直平分线垂直且平分其所在线段。垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。15、点A沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线EF。则折线EF垂直平分线段AB。16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判断：根据勾股定理a2+b2=c2可判断c边的对角C是否为直角。若a2+b2c2，则∠C为锐角；若a2+b2=c2则∠C为直角；若a2+b2c2，则∠C为钝角。CDEABF专题归类：专题一、勾股定理与面积在Rt▲ABC中，C=90,a、b为直角边，c为斜边。h为斜边上的高。则Rt▲ABC的面积：S=21abS=21h*c（公式）1)已知任意两边长，求面积：已知a、b,则S=1/2ab已知a、c,根据b2=c2-a2，开平方根得b值，利用S=21ab求解例题1：在Rt▲ABC中，C=90,a=3,斜边c=5，则Rt▲ABC的面积S=。Rt▲ABC,a=3,c=5,则b=4,S=21ab=21x3x4=6又如，三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。∵52+122=25+144=169=132∴该三角形为直角三角形，且5,12为直角边S=21ab=21x5x12=302)已知周长（a+b+c）和斜边长c，或已知（a+b）及c，求面积:在RT▲ABC中，∵(a+b)2=a2+b2+2ab,c2=a2+b2∴(a+b)2-c2=2ab因此S=21ab=41[(a+b)2-c2]=41(a+b+c)(a+b-c)即S=41(a+b+c)(a+b-c)=41x(周长)x(周长-2c)（公式）例题2、一直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。解S=41(a+b+c)(a+b-c)=41x12x(12-5-5)=6(m2)１．已知直角三角形的周长是2+6，斜边长2，求它的面积。S=41(a+b+c)(a+b-c)=41(2+6)x(2+6-2-2)=41(2+6)x(6-2)=41x[(6)2-22]=41x2=21２．已知直角三角形的斜边中线为５，面积为２４，求它的周长。RT▲ABC中线为5，则斜边长c为10,由(a+b)2=a2+b2+2ab,c2=a2+b2得(a+b)2=c2+2ab=100+（2x2x24）=196∴(a+b)=14∴a+b+c=24３．已知直角三角形的周长是５６，面积为４２，求它的斜边长。S=41x(周长)x(周长-2c)∴42=41x56x(56-2c)56-2c=32c=53,c=53/23)已知a、b，c，（或已知a、b，根据勾股定理求出c），求高h.根据RT▲ABC面积计算公式S=21ab以及S=21h*c得ab=hc∴h=cab例题3、在RT▲ABC中，90C，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？∵90C，AB为斜边，且BC=8,AB=10∴直角边AC=6h=cab=ABBC*AC=108x6=4.8练习：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（）。∵AB为斜边，设AC=4x,BC=x,则(4x)2+x2=117x2=1,∴x2=1/17在RT▲ABC中，斜边AB上的高CD=cab=ABBCxAC=4x2=4/174)直线上摆正方形问题直线l上有三个正方形S1、S2、S3，若已知S1和S3的面积，则S2的面积为证明：在RT▲ABC和RT▲CDE中90ABC，BAC90BCA，90DEC，DCE90DECBCADCEACE=180°∵正方形S2中，90ACE，AC=CE∴BCADCE=90°而DCE90DEC∴BCA=DEC又ABC=CDE=90°AC=CERT▲ABC≌RT▲CDE∴BC=DE∵S2=AC2=AB2+BC2=AB2+DE2而S1=AB2，S3=DE2∴S2=S1+S3例题4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于。解:∵S1+S2=1,S3+S4=3∴S1+S2+S3+S4=1+3=4S1S2S3l321S4S3S2S18、有一块土地形状如图3所示，90DB，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°求四边形ABCD的面积。证明：延长AD和BC相交与点E∵∠A=60°,∠B=90°∴∠E=30°AB=2AE=4,BE2=AE2-AB2=12BE=32，同理可知DE=3S▲ABE=21xABxBE=21x2x32=32S▲CDE=21xCDxDE=21x1x3=213则四边形ABCD的面积为S▲ABE-S▲CDE=23310、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=4，BC=8，求：重合部分△EBD的面积∵BD'C=CBD=ADB∴BE=DEAE2+AB2=BE2=DE2=(AD-AE)2AE2+42=(8-AE)2=82+AE2-16AE16AE=64-16=48AE=3S△EBD=S△ABD-S△ABE=21x32-21x3x4=10DCBA图3DCBAEDCBA11、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠点A沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线EF。则折线EF垂直平分线段AB1、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？解：设CE=x，则AE=8-x，∵△BDE是△ADE翻折而成，在∴AE=BE=8-x，Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x=1.75，∴CE=1.75．2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=8，BC=6,现将顶点A折叠至点B，折线为DE，求CE的长？解：DE为折线，则DE垂直平分线段AB，因此AE=BEBE2=EC2+BC2(AC-CE)2=EC2+BC2(8-CE)2=62+CE264-16CE+CE2=62+CE216CE=64-36=28CE=1628=47ABCDEEDBCA图53、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。4、如图，长方形ABCD中，AB=3cmBC=4cm，将此长方形折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，求AE、EF的长5、如图6，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=30（1）求BE、QF的长（2）求四边形QPEF的面积。AEDBCFD1O图6PHFEQDCBA图4EGCDBA设AE=x,EF为折线，EF为AC的垂直平分线，则CE=AE=xBE=BC-CE=4-xAB2=AE2-BE2=x2-(4-x)2=8x-16=9∴x=25/8EF⊥AC∴EO2=AE2-AO2=(825)2-(25)2=6416)-25x(25=6425x9∴EO=815∴EF=2x815=415EBCDA7、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cmAD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度1、如图7，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明。3、△ABC中，AB=AC=20，BC=32，15AD,D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．图7EDCBAD专题四、勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（）A4,5,6,B5,7,12C12,13,15D14,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是。3、下列是勾股数的一组是（）A2,3,4,B5,6,7,C9,40,41D1024254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且abc（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论（2）：当a=21时，求b,c的值,3,4,532+42=525,12,1352+122=1327,24,2572+242=2529,40,4192+402=412……..……21,b,c212+b2=c2c=b+1,b+c=a2专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明1、在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12证明：ADBD2、CD是▲ABC中AB边上的高，且CD2=ADDB，试说明ACB=903、在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点且CF=41CD试说明▲AEF是直角三角形。DCBACBDADFCEBA4、▲ABC三边的长为a,b,c，根