极值与凹凸性

oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x3.4极值与凹凸性3.4.1函数的极值定义3.1))()((0xfxf或)()(0xfxf为函数则称)()(0xfxf的一个极大值(或极小值),如果在x0的函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点x0称为极值点.设在x0附近有定义,)(xf某个空心邻域内,恒有注意:极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉及函数在一点附近的性质.定理3.4(极值的必要条件)注意:可导函数的极值点必定是驻点,例如,,3xy,00xy但驻点不一定是极值点.则必有.0)(0xf设在点处可导,且在处取得极值,)(xf0x0x)(,)(xfxf称为函数为零的点使得导数的驻点..0不是极值点但x另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.例如,,xy.,0但是极小值点处不可导在x设函数在x0处连续,)(xf定理3.5(极值的第一充分条件)在x0的某个空心邻域内可导,则，0)(xf(1)如果有),,(00xxx),,(00xxx而,0)(xf有则在处取得极大值;)(xf0x，0)(xf(2)如果有),,(00xxx),,(00xxx而,0)(xf有则在处取得极小值;)(xf0x(3)如果当及时,),(00xxx),(00xxx)(xf符号相同,则在处无极值.0x)(xfxyoxyo0x0x是极值点情形xyoxyo0x0x不是极值点情形求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.(1)求出的所有可能的极值点,即的不可导的点和的点;)(xf0)(xf(2)对(1)中求得的每个点,根据在其左、右是否变号,确定该点是否为极值点.0)(xf如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;x例1求函数的极值.解32)1()(xxxf，令0)(xf.31x得驻点)0,(1,3131,0031)(xf)(xf0极大值极小值)1,0(,)1(331)(32xxxxxf函数在其定义域内连续.),(,10时与当xx导数不存在;1),1(不存在无极值不存在.0)1(f,34313f定理3.6(极值的第二充分条件)注意:,)(,0)(00处不一定取得极值在点时xxfxf,0)(0xf则,0)(0xf设在处具有二阶导数,且)(xf0x(1)当时,函数在处取得极大值;)(xf0x0)(0xf(2)当时,函数在处取得极小值.)(xf0x0)(0xf此时仍需用定理3.5.极大值极小值解xxxf63)(2，令0)(xf.2,021xx得驻点66)(xxf,06)0(f,1)0(f故极大值,06)2(f.3)2(f故极小值).,(定义域为例2求函数的极值.13)(23xxxf)(xfy)(xfy1x2x1x2x221xx221xx图形上任意弧段位于所张弦的上方xyOxyO3.4.2曲线的凹凸性及拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的下方恒有2)()(22121xfxfxxf2)()(22121xfxfxxf;,)(或称凹的上是向下凸的在区间则称Ixf设在区间I上连续,)(xf定义3.2,,21Ixx如果恒有.,)(或称凸的上是向上凸的在区间则称Ixf,,21Ixx如果则内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf定理3.7;],[)(,0)(),()1(上是凹的在则内若在baxfxfba.],[)(,0)(),()2(上是凸的在则内若在baxfxfba解,32xyxy6时，当0x,0y;]0,(,上是凸的曲线在所以时，当0x,0y.),0[,上是凹的曲线在所以定义3.3连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点.例3判断曲线的凹凸性.3xy定理3.8(拐点的第一充分条件)设函数在x0的某邻域内连续，)(xfy)(0xU在空心邻域内存在,)(0xU)(xf(1),)(0异号两侧若在xfx;))(,(00即为拐点则点xfx(2),)(0同号两侧若在xfx.))(,(00不是拐点则点xfx定理3.9(拐点的第二充分条件),0)(,0)(00xfxf若是则点))(,(00xfx曲线的拐点.)(xfy解,32353132xxy)0(,9)15(234xxxy.51,0xy得令x51,),0(0,51510)(xf)(xf0凹的凸的凹的拐点不是拐点例4求曲线的拐点及凹凸区间.函数在其定义域内连续.),(32)1(xxy;,,0均不存在处在yyx不存在325156,51例5证明).,0,0(,2ln2lnlnyxyxyxyxyyxx证22)()(yxfyfxf).0(,ln)(ttttf令,),,0(,yxyx.2ln2lnlnyxyxyyxx,1ln)(ttf01)(ttf所以曲线在上是严格向下凸的.),0(有即.,],[)(且其图形是凸的上连续在如果baxf性质),,,2,1(0],,[nipbaxii,121nppp)(22211xpxpxpfn.21时成立等号仅当nxxx)()()(2211nnxfpxfpxfp有则其中证.2,0,2sin)(xxxxf,2cos)(xxf.)(的图形是凸的xf,0)0(f又,20时因此当x.2sinxx.2sin,20xxx时例6证明当0sin)(xxf设则,02f即,02)1()0()(ftftxf,2)1(0ttx使),1,0(t沿着曲线上的一动点当曲线Pxfy)(1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线),)(lim)(lim00xfxfxxxx或3.4.3函数图形的描绘一条渐近线..)(0的一条铅直渐近线就是那么直线xfyxx的就称为曲线那么直线)(xfyL移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离趋向于零,如果例如,)3)(2(1xxy有两条铅直渐近线:.3,2xx2.水平渐近线(平行于x轴的渐近线)),()(lim)(lim为常数或bbxfbxfxx例如,arctanxy有两条水平渐近线:.2,2yy.)(的一条水平渐近线就是那么直线xfybyxyO22如果3.斜渐近线,0)]()([limbaxxfx斜渐近线求法,)(limaxxfx.])([limbaxxfx.)(的一条斜渐近线就是曲线则xfybaxy.)(的一条斜渐近线就是那么xfybaxy如果),(,0)]()([lim为常数babaxxfx或若且注意:xxfx)(lim)1(])([lim,)(lim)2(axxfaxxfxx但解如果).,1()1,(定义域为例7求的渐近线.1)3)(2(2)(xxxxf不存在;不存在;可以断定不存在斜渐近线.)(xfy)(lim1xfxxxfx)(lim)1()3)(2(2limxxxxx2xxxxx21)3)(2(2lim1)1(2)3)(2(2limxxxxxx4所以,是曲线的铅直渐近线.1x所以,是曲线的一条斜渐近线.42xy(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.和拐点.(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.确定曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下:(3)求出函数的单调性和极值,例8描绘函数的图形.2)1(4)(2xxxf解),,0()0,(函数非奇非偶.,)2(4)(3xxxf4)3(8)(xxxf,0)(xf令,2x得驻点,0)(xf令.3x得2)1(4lim)(lim2xxxfxx2.2y定义域为水平渐近线:2)1(4lim)(lim200xxxfxx,.0xx)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf00)(xf20不存在拐点极小值间断点3926,3无斜渐近线.,)2(4)(3xxxf4)3(8)(xxxf,2)1(4)(2xxxf列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:铅直渐近线),0,31(),2,1(),6,1().1,2(作图2)1(4)(2xxxf拐点926,3极小值3)2(f补充点),0,31(x)(xf)(xf)(xf)3,(),0()2,3(3)0,2(200不存在0拐点极小值间断点2y0x水平渐近线:垂直渐近线:xyO316221123