三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式

第四章三角函数第1讲三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示命题探究考点三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．(2)角度与弧度的互化①360°＝2πrad；②180°＝πrad；③1°＝π180rad；④1rad＝180π°≈57.30°.(3)弧长及扇形面积公式①弧长公式：l＝|α|r；②扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．(4)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r＝x2＋y2.三角函数定义定义域sinαyrRcosαxrRtanαyxαα≠π2＋kπ，k∈Z(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(6)三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形2同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.3诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα——(2)诱导公式的记忆规律①诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．②“奇”“偶”指的是诱导公式k·π2＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．③“符号看象限”指的是在k·π2＋α中，将α看成锐角时k·π2＋α所在的象限．注意点应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号．(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍.1．思维辨析(1)120°角的正弦值是12，余弦值是－32.()(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．()(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．()(5)锐角是第一象限角，反之亦然．()(6)终边相同的角的同一三角函数值相等．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45答案D解析由三角函数的定义知cosα＝－4－42＋32＝－45.故选D.3．(1)角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案(1)C(2)46π解析(1)因为－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的终边在第三象限．(2)弧长l＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l＝|α|·r，得r＝l|α|＝3π34π＝4，面积S＝12lr＝6π.[考法综述]对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合．如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力．命题法三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例(1)已知sinαcosα＝18，且5π4α3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B.32C．－34D.34(2)若角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，则cosθ的值为________．(3)已知扇形周长为40，当它的半径r＝________和圆心角θ＝________分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________.[解析](1)∵5π4α3π2，∴cosα0，sinα0且|cosα||sinα|，∴cosα－sinα0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.(2)点P(－3，m)是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sinθ＝m3＋m2.又sinθ＝24m，∴m3＋m2＝24m.又m≠0，∴m2＝5，∴cosθ＝－33＋m2＝－64.(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．(4)∵π6－α＋α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－π6－α，∴sinα－2π3＝sin－π2－π6－α，＝－cosπ6－α＝－23.[答案](1)B(2)－64(3)102(4)－23【解题法】同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系式的应用技巧①弦切互化法：主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦函数．②和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．③巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ.(2)使用诱导公式的原则和步骤①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了．②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～π2之间角的三角函数，然后求值．1.若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝()A．1B．2C．3D．4答案C解析cosα－3π10sinα－π5＝sinα－3π10＋π2sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝sinαcosαcosπ5＋sinπ5sinαcosαcosπ5－sinπ5＝2·sinπ5cosπ5cosπ5＋sinπ52·sinπ5cosπ5cosπ5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C.2．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．abcB．bcaC．cbaD．cab答案C解析∵a＝sin33°，b＝cos55°＝sin35°，c＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°sin35°sin33°.∴cba，选C.3．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A．2B．1C.12D．3答案A解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝lr＝21＝2.4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.答案－8解析若角α终边上任意一点P(x，y)，|OP|＝r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝y16＋y2，又sinθ＝－255，∴y16＋y2＝－255，且y0，解得y＝－8.5.若α∈0，π2，则sin2αsin2α＋4cos2α的最大值为________．答案12解析∵α∈0，π2，∴tanα0，∴sin2αsin2α＋4cos2α＝2sinαcosαsin2α＋4cos2α＝2tanα4＋tan2α＝2tanα＋4tanα≤12，当且仅当tanα＝2时取等号．6．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．解(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.故22sinx－22cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为π3，∴cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝22sinx－22cosx1×1＝12，故sinx－π4＝12.又x∈0，π2，∴x－π4∈－π4，π4，x－π4＝π6，即x＝5π12，故x的值为5π12.已知角α的终边在直线2x－y＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值．[错解][错因分析]直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解．[正解]在直线2x＋y＝0上取点(m,2m)(m≠0)则r＝5|m|，当m0时，r＝5m，sinα＝yr＝2m5m＝255，cosα＝xr＝m5m＝55，tanα＝yx＝2mm＝2.当m0时，r＝－5m，sinα＝yr＝2m－5m＝－255，cosα＝xr＝m－5m＝－55，tanα＝yx＝2mm＝2.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．[2016·冀州中学期中]已知角α的终边过点P(－a，－3a)，a≠0，则sinα＝()A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案D解析当a0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sinα＝－31010；当a0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sinα＝31010.故选D.2.[2016·衡水中学仿真]若sinα＋cosα＝713(0απ)，则tanα等于()A．－13B.125C．－125D.13答案C解析由sinα＋cosα＝713，两边平方得1＋2sinαcosα＝49169，∴2sinαcosα＝－120169，又2sinαcosα0,0απ.∴π2απ.∴sinα－cosα0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝289169，∴sinα－cosα＝1713.由sinα＋cosα＝713，sinα－cosα＝1713，得sinα＝1213，cosα＝－513，∴tanα＝－125.3．[2016·枣强中学预测]设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅答案B解析M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z＝x|x＝2k4·180°＋45°，k∈Z，故当集合N中的k为偶数时，M＝N，当k为奇数时，在集合M中不存在，故M⊆N.4．[2016·冀州中学一轮检测]已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝()A．－2B．2C．0D.23答案B解析由角θ的终边在直线2x－y＝0上，可得tanθ＝2，原式＝－cosθ－cosθcosθ－sinθ＝－21－tanθ＝2.5．[2016·武邑中学一轮检测]已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1答案A解析解法一：由sinα－cosα＝2sinα－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.解法二：由sinα－cosα＝2及sin2α＋cos2α＝1，得(sinα－cosα)2