函数应用、零点、二分法知识点和练习

第1页一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．3、函数零点的求法：○1（代数法）求方程0)(xf的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)ykxk仅有一个零点。②反比例函数(0)kykx没有零点。③一次函数(0)ykxbk仅有一个零点。④二次函数)0(2acbxaxy．（1）△＞０，方程20(0)axbxca有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)axbxca有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)axbxca无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数(0,1)xyaaa且没有零点。⑥对数函数log(0,1)ayxaa且仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当0n时，仅有一个零点0，当0n时，没有零点。5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成0fx，再把第2页复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,yy（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。即f(x)=g(x)的解集f(x)的图像和g(x)的图像的交点。6、选择题判断区间,ab上是否含有零点，只需满足0fafb。7、确定零点在某区间,ab个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且0fafb②在区间,ab上单调。8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a，]b上连续不断，且满足()()0fafb的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数()fx零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，]b，验证()()fafb0，给定精度；（2）求区间(a，)b的中点1x；（3）计算1()fx：①若1()fx=0，则1x就是函数的零点；②若()fa1()fx0，则令b=1x（此时零点01(,)xax）；③若1()fx()fb0，则令a=1x（此时零点01(,)xxb）；(4)判断是否达到精度；即若||ab，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤(2)-(4)．11、二分法的条件()fa·()fb0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。12、解决应用题的一般程序：第3页①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．例题分析【例1】若方程243xxm有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是.【例2】若函数f（x）＝x2－（2a－4）x－3在[1，3]上的最小值是g（a），求g（a）的函数表达式．针对练习一、选择题1．已知函数)(xf唯一的零点在区间(1,3)内，那么下面命题错误的（）A函数)(xf在(1,2)或2,3内有零点B函数)(xf在(3,5)内无零点C函数)(xf在(2,5)内有零点D函数)(xf在(2,4)内不一定有零点2.函数132)(3xxxf零点的个数为（）A1B2C3D43.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-∞，-2)∪（2，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）4．函数62ln)(xxxf的零点落在区间（）A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）5.方程lgx＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解（）A.[-10，-110]B.(,0]C.[1,10]D.1[,1]106.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）7.若方程0xaxa有两个解，则实数a的取值范围是（）A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、8.在下列区间中，函数()43xfxex的零点所在的区间为（）第4页A.1,04B.10,4C.11,42D.13,249.方程5x21x的解所在的区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)10.若关于x的方程0)1(2mxx在]11[，上有解，则m的取值范围是（）A．]1,45[B.]1,1[C．),45[D．]1,(11、方程12xx根的个数为（）A、0B、1C、2D、312.方程03)4(log2xx的实根的个数是（）A．1B.2C.3D.4二、填空题13．用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是14.若方程232xx的实根在区间nm,内，且1,,mnZnm，则nm.15.设y=f（x）的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f（x）=0在[a,b]上有实根.三、解答题16、有一块长为20cm，宽为12cm的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积V与边长x的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。17.设1x与2x分别是实系数方程20axbxc和20axbxc的一个根，且1212,0,0xxxx，求证：方程202axbxc有且仅有一根介于1x和2x之间。18.已知函数f(x)=xax+b（a，b为常数，且a≠0）满足f(2)=1且方程f(x)=x有唯一解，求函数f(x)的解析式第5页19．已知函数()fx的定义域为（0，+∞），且满足对任意的x＞0，y＞0，()()()fxyfxfy，(3)1f.当x＞1时，()fx＞0.（1）求(9)f的值；(2)判断()fx的单调性，并加以证明；（3）解不等式()(8)2fxfx.三、布置作业1.方程34560xx的根所在的区间为（）A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)2．已知2()22xfxx，则在下列区间中，()0fx有实数解的是（）(A)（-3，-2）(B)（-1，0）(C)（2，3）(D)（4，5）