人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0n=0。注意：(1)()nnaa(2)当n是奇数时，nnaa，当n是偶数时，,0||,0nnaaaaaa2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：(0,,,1)mnmnaaamnNn且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)mnmnaamnNna且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）(0,,)rsrsaaaarsR（2）()(0,,)rsrsaaarsR（3）(b)(0,0,)rrraababrR注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(12)]1221而应=（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数xya叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即a0且a≠12、指数函数的图象和性质0a1a1图像定义域R,值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1性质(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x0时,0y1;当x0时,y1（3）当x0时,y1;当x0时,0y1图象特征函数性质共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a1自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x0时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x0时,y1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x0时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x0时,0y1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意：指数增长模型：y=N(1+p)x指数型函数：y=kax3考点：（1）ab=N,当b0时，a,N在1的同侧；当b0时，a,N在1的异侧。（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。（4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。(5)指数型函数：y=N(1+p)x简写：y=kax二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果xaN，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：logaxN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）说明：1.注意底数的限制，a0且a≠1；2.真数N03.注意对数的书写格式．2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,loglneNN记为．3、对数式与指数式的互化logxaxNaN对数式指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)对数恒等式：logNaaN（二）对数的运算性质如果a0，a1，M0，N0有：1、logMNloglogaaaMN（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2、NMNMaaalogloglog两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3、loglognnaaMnM（R）一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍说明:1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”……2)有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,＋∞)4)特别注意：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglog注意：换底公式loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa利用换底公式推导下面的结论①abbalog1log②loglogloglogabcabcdd③loglogmnaanbbm（二）对数函数1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，log2ayx都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：a0，且a≠12、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且a≠1)0＜a＜1a＞1图像性质定义域：（0，＋∞）值域：R过点(1,0),即当x＝1时,y＝0在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数当x1时，y0当x1时，y0yx0(1,0)yx0(1,0)当x=1时，y=0当0x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0重要结论：在logab中，当a,b同在(0,1)或(1,+∞)内时，有logab0;当a,b不同在(0,1)内，或不同在(1,+∞)内时,有logab0.口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.（其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值）3、如图，底数a对函数xyalog的影响。规律:底大枝头低,头低尾巴翘。4考点：Ⅰ、logab,当a,b在1的同侧时,logab0；当a,b在1的异侧时,logab0Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数0，值域求法用单调性。Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。Ⅴ、y=ax(a0且a≠1)与y=logax(a0且a≠1)互为反函数，图象关于y=x对称。5比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.6比较大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞）上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸；（3）α0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．