数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。（2）累加法例2已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。变式：已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnn所以数列{}na的通项公式为(1)12325!.nnnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。变式：已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。（4）待定系数法例4已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5)nnnnaxax④将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na，得135525nnnxx，两边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1152(5)nnnnaa⑤由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5}nna是以1151a为首项，以2为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5)nnnnaa，从而可知数列{5}nna是等比数列，进而求出数列{5}nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。变式：①已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。②已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。（5）对数变换法例5已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，，所以100nnaa，。在5123nnnaa式两边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan⑩设1lg(1)5(lg)nnaxnyaxny○11将⑩式代入○11式，得5lglg3lg2(1)5(lg)nnanxnyaxny，两边消去5lgna并整理，得(lg3)lg255xnxyxny，则lg35lg25xxxyy，故lg34lg3lg2164xy代入○11式，得1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan○12由1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a及○12式，得lg3lg3lg2lg04164nan，则1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan，所以数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是以lg3lg3lg2lg74164为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则11541515164732nnnnna。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5123nnnaa转化为1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan，从而可知数列lg3lg3lg2{lg}4164nan是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg2{lg}4164nan的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。（6）数学归纳法例6已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。解：由1228(1)(21)(23)nnnaann及189a，得2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181aaaaaa由此可猜测22(21)1(21)nnan，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当1n时，212(211)18(211)9a，所以等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即22(21)1(21)kkak，则当1nk时，1228(1)(21)(23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当1nk时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何*nN都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。（7）换元法例7已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令124nnba，则21(1)24nnab故2111(1)24nnab，代入11(14124)16nnnaaa得221111(1)[14(1)]241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为1240nnba，故111240nnba则123nnbb，即11322nnbb，可化为113(3)2nnbb，所以{3}nb是以1131243124132ba为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22nnnb，则21()32nnb，即21124()32nna，得2111()()3423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列{3}nb为等比数列，进而求出数列{3}nb的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。（8）不动点法例8已知数列{}na满足112124441nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令212441xxx，得2420240xx，则1223xx，是函数2124()41xfxx的两个不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa。所以数列23nnaa是以112422343aa为首项，以913为公比的等比数列，故12132()39nnnaa，则113132()19nna。评注：本题解题的关键是先求出函数2124()41xfxx的不动点，即方程212441xxx的两个根1223xx，，进而可推出112213393nnnnaaaa，从而可知数列23nnaa为等比数列，再求出数列23nnaa的通项公式，最后求出数列{}na的通项公式。例9已知数列{}na满足1172223nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。解：令7223xxx，得22420xx，则1x是函数31()47xfxx的不动点。因为17255112323nnnnnaaaaa，所以2111()()3423nnna。评注：本题解题的关键是通过将124na的换元为nb，使得所给递推关系式转化11322nnbb形式，从而可知数列{3}nb为等比数列，进而求出数列{3}nb的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。课后习题：1．数列252211，，，，的一个通项公式是（）A、33nanB、31nanC、31nanD、33nan2．已知等差数列na的通项公式为32nan,则它的公差为（）A、2B、3C、2D、33．在等比数列}{na中,,8,1641aa则7a（）A、4B、4C、2D、24．若等比数列na的前项和为nS，且1010S，3020S，则30S5．已知数列na通项公式3102nnan，则该数列的最小的一个数是6．在数列{an}中，112a且11nnnnaanNna，则数列1na的前99项和等于．7．已知}{na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）求数列}{na的通项公式；