函数的周期性和对称性

函数的性质--对称性、周期性()(2)fxfax(1)若关于直线对称()yfxxa一、函数的对称性若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点仍在上，就称关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为自对称。yfxfxyfx()()fxafax()(2)2fxfaxb(2)若关于点对称()yfx,abfxafaxb()()2两个恒等式的形式均不唯一，要记住本质构造.定理：若函数满足，那么函数以为对称轴。)(xf)()(xafxafaxcor.若函数满足，那么函数以为对称轴。)(xf)2()(xafxfax即：))(,())(,(xafxaBxafxaA)()(xafxaf)2()(xafxfYXOABX=a对称轴为ax))2(,2())(,(xafxaBxfxA定理：若函数满足，那么函数关于点对称。)(xf)()(xafxaf)0,(acor.若函数满足，那么函数关于点对称。)(xf)2()(xafxf)0,(a即：))(,())(,(xafxaBxafxaA)()(xafxaf)2()(xafxf对称点为0,a))2(,2())(,(xafxaBxfxAYXOAB(a,0)2)若,则函数关于______________对称;fxafbxcfx注：1.当时,函数关于直线对称0a0x()()fxfx2.当时,函数关于点对称0a(0,0)()()0fxfx偶函数----特殊的轴对称函数奇函数----特殊的点对称函数一般地,1)若,则函数关于对称.fxafxbfx2abxabc,22y=f(x)对称源性质点(0,0)y轴y=xx=m点(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)()()(),33,fxfxfx-=+且Ex:若函数()12341,,,,2fxxxxx=使的解是1234=求xxxx-----+++12关于x=0对称例1：已知的图象,画出和的图象，并指出两者的关系。yfx1fx1fxyfx(-1,0)1yfx1yfx(1,0)若函数上任意一点关于某直线（或某点）的对称点在上，就称和关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互对称。yfxygxyfxygx一般地,函数和关于_______对称.yfxayfxb2bax记忆：令x+a=-x+b，可求得对称轴.变化前对称源变化后y=f(x)点(0,0)x轴y轴y=xy=-x直线x=m直线y=n点(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)例3：设的图象与的图象关于直线对称，求的解析式。1xfxx21gxgx例2:将函数右移2个单位得到图像C1，有C1和C2的图像关于点对称，求C2的函数解析式。()yfx(1,2)利用对称性求解析式4()yfx212gxx（一）、互对称问题常用轨迹代入法求解析式例4：设图象关于直线对称,在上，求当时的解析式。21,fxxfx1x,11,x,fx例5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,函数求当时的解析式fx1x1,1x21,fxx3,1xfx212,3,1fxxx212,[1,)fxxx(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换2:(0)egyaxbxca关于直线对称2bxa关于直线对称(0)yaxbmaxb(0)ayxax关于对称(0)ByABCCxD关于点对称,DAC常见函数的对称性一个函数本身的对称性称为自对称,分成关于某直线对称或某点对称.yfx原点二、函数的周期性理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？1.定义:对于函数，若存在非零常数T，使得恒成立，则称为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周期。,yfxxDfxTfxyfx(2).若T是的一个周期，则kT（k是非零整数）均是的周期吗？(3)周期函数的定义域D可以为闭区间吗？yfxyfxT=(a-b)思考：若,函数具有什么性质？fx,fxafxbab(1)周期函数有最小正周期.如：常数函数y=c.(2)若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期.(3)周期函数的定义域无界．不一定上、下1()(),01(2)()()(3)()()1(4)()(5)()1()()1()1(6)()7f(x)=1-1()f(x+a)1()(8)()(9)(1()（且）（）fxafxaaRafxafxfxafxfxafxafxfxfxfxafxfxfxafxfx)()(-a)afxfx注：除了定义式是充要条件外，其余均为充分非必要条件2()-()即：若推不出Tafxafx2Ta2Ta2Ta2Ta4Ta2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)2Ta2Ta3Ta6Ta3.函数的对称性与周期性的几个常见性质。性质1.若函数以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=)(xf）（ba,bxaxba2X=aX=b()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2||(,,,fxxaxbfaxfaxfbxfbxfxfaxfaxfbxfxfbxtaxbxtbaftftbafxfxbafxbaab证明：由图象有两条对称轴，，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值性质2.若函数以为对称点，那么此函数是周期函数，周期T=)(xf0,,0,baba2)2()(xafxf))2(2(xabf)22(abxfab假定(a,0)(b,0)性质3.若函数以为对称点，以为对称轴，那么此函数是周期函数，周期T=)(xf0,aba4)2()(xafxf))2(2(xabf)22(22(abxabfab假定bx)22(xabf)44(xabfX=b(a,0)XYO函数的周期性应用小结：三个结论：若a，b是非零常数，且a≠b，则有结论1：(逆推式与周期关系结论)(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2|a|；(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2|a|；(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；(4)若f(x＋a)＝1＋fx1－fx，则T＝4|a|.结论2：(对称性与周期关系结论)(1)f(x)关于x＝a及x＝b对称，则T＝2|b－a|；(2)f(x)关于x＝b及M(a,0)对称，则T＝4|b－a|；(3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称，则T＝2|b－a|.结论3：(奇偶性与周期关系结论)(1)f(x)是偶函数且关于直线x＝a对称，则T＝2|a|；(2)f(x)是奇函数且关于直线x＝a对称，则T＝4|a|.(上述结论中的T为函数的周期，但不一定是最小正周期)．【典例1】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋3)＝1－fx，则f(2009)＝________.[解析]由题意可得f(x＋6)＝f((x＋3)＋3)＝1－fx＋3＝1－－1fx＝f(x)．∴函数的周期为6.f(2009)＝f(334×6＋5)＝f(5)，而f(5)＝f(3＋2)＝－1f2＝－12－3＝－(2＋3)．故填－(2＋3)．[答案]－(2＋3)[反思感悟]根据f(x＋3)＝1－fx，可得到f(x)为周期为6的函数.【典例2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的x，都有f(x＋1)＝－f(1－x)，且方程f(x)＝0在(－1,1)上只有一个根，则方程f(x＋1)＝0的第2000个根是多少．(从x轴右半轴开始从左到右数起)．解题准备奇偶性和周期性都是函数的整体性质．奇偶性是解决函数图像的对称性问题，周期性是解决函数图像的平移问题．函数的单调性揭示函数的局部性质，灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程、不等式等综合问题．[解]由f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)，得f(x)是周期函数，且周期为2.f(x＋1)是把f(x)的图像向左移1个单位．由x∈R，f(x)是奇函数，且f(x)＝0在(－1,1)上只有一个根，知f(0)＝0，又令x=0得f(0+1)=-f(1-0)即f(1)=0∴方程f(x)＝0的第2000个根是2000，∴f(x＋1)＝0的第2000个根是1999.练习1:定义在R上的函数满足且方程有1001个根，则这1001个根的和？()fx()(4)fxfx()0fx4:如果那么1,xxafxaaa129______.101010fff12310______.11111111ffff3：如果那么4,42xxfx5922:函数图象关于点对称，则yfx11,22(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)ffffffff420025:(1)定义在R上偶函数满足则方程在区间上至少有()个根。(2)将上题中的“偶函数”改成“奇函数”，其余条件不变，则在区间至少有()个根。yfx20,3,fT0fx0,60,66：定义在R上函数满足条件:①不是常值函数；②③则下列命题中正确的是()yfxfx2;fxfx11.fxfxA.是周期函数B.关于对称C.关于y轴对称D.关于原点中心对称fx1xfxfxfx47,,ABC重要结论：若奇，且周期为T，则必有fx02Tf注：可用模拟图，直观明了TTTTTx=-f(-+T)=f(-)=-f()f()=022222令，由得思考：若周期为，又关于对称，能否推出是偶函数？若能，能否严格证明？yfx2Tayfxxayfx练习:1.若为定义在R上的奇函数，且关于直线对称，问：是否为周期函数？若是，求出它的一个周期。yfx0xbbyfx2.若为定义在R上偶函数且满足问：是否关于直线对称？若是，请给出证明。yfxyfx1,fxfx1x3：设奇函数，且当则,yfxxR13,fxfx32,2,xfxx113.5__________.f154Tb()()(4),()236(),(),(4)55yfxfxfxfxfff4.已知函数满足且在（，）上为增函数，比较的大小.33176614f=f-ff=f-f5555551417fx+45563ff55解：（）（4）=（）（）（4）=（）又（）在（2，）上单调递增，而（）（）f(4)5：设是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时,函数求当时的解析式。