固体物理(第12课)能态密度

补充资料：三维晶格情况下的波矢nNNNNNNNbbbaaa321321321321、、、、、、被限制在第一布里渊区点的数目）：中的分布密度（单位体积点占据的体积：平均一个、、kVVkkVNNNbNbNbkZhhhbNhbNhbNhk221221*1,.13333332211321333222111示意图KLnJLnILnkzyx222a2a2Na2kxkykza2a2Na2ΓKLnJLnILnkzyx222倒易点阵波矢空间空间k321NaLNaLNaLzyxzyxnNanNanNanLnLnLk2电子具有的波长22Nb33Nb11Nb说明电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长为na/l，即L/l，na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面波与晶面垂直。可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx+Na/nx+Na/nx)的平面简谐波存在。晶格常数为a的简立方晶格常数b为2π/a的倒易格点。b对应面间距。最大的k，对应波长为2a。最小的k，对应波长为L。K越小，所对应波长越长。b原胞体积)(222321213132321aaaVVaabVaabVaaba能态密度:单位能量间隔内的电子状态数量电子能级是简并的222222222zyxnnnmLhmkE5.2.3能态密度dEdZEZENZZZEEEE0lim)(dkkVdkkVkkkkEEEkk232344dZ48E对应的量子态数为：点数为：球壳中对应的＋球面半径：点分布在球面上的空间中：能量为在示意图能态密度球232233)2(33482(k)Z:,kEmVkVe电子的状态数的球体中半径为kxkykzEE+dEkk+dkE为等能面(红色线)2/122222/12/32223)(2222244CEdEdZENmEddkmEkmkEdEEhmVdkkVdZ矢量球5.2.4费米能与费米面*(1)费米－狄喇克分布量。个电子时自由能的增加情况下，系统中增加一的子化学势。指体积不变：费米能级（量），电几率为：的量子态被电子占据的为在热平衡状态下，能量11)(/FTKEEEeEfEBF1)(0)(0KT.EfEEEfEEaoFoF时：占据的最高能级是电子时，oFEKT0示意图21)(0KT.EfEEbF时：几率相等被电子占据和不占据的的量子态的能级，则该能级对应大小相等若金属中存在一个同FE返回11)(/TKEEBFeEfT=0KT30)()(dEENEfNN个电子，则设金属中有(2)费米能量EF的计算3/222oF3232228-2/322/3oFE01/232E)/10~10(109.1m24E32CE1N0.oFnmcmnnVNghmVCCdEKTa：电子浓度时：1.5～7eVoFoFoFEEECECNdECEENdEENEEfNEdNEoF5332521)()(2/32/502/100上式表明,即使在绝对零度,电子的平均动能也不为0,这不同于经典理论.经典理论:电子的平均动能等于3kBT/2,当T趋于0K时,平均动能为0.量子理论：电子必须遵守泡利不相容原理.因此,即使在绝对零度,不可能所有的电子都填在最低的能量状态.计算结果表明,即使在T=0K,电子的速度也高达108cm/s.平面波b.T0K时：02/302/302/302/3002/31/20)(32)(3232)(32)(32CE)()()(NdEEfEgNCEEgdEEfCEdEEfCEEECfdEECfdEEfdEENEf，则令示意图)()()()(21)()()(2102FFFFFFFFFEgIEgIEgIdEEfEEEgdEEfEEEgdEEfEgNEEEg则有：附近作泰勒级数展开，在将nnxxxfnxxxfxxxfxfxf))((!1))((!21))(()()(00200000类似于函数，故可扩展到-~+222/32/3oF22210222210121)(32)()E(32N)(6)()()()(601oFBoFFFFFBFFFFBFFETkEEECEgCEgTkEgEgIEgIEgINTkdEEfEEIdEEfEEIdEEfI，示意图FoFFoFFETbEEEEa，随着比较接近且和)()(返回降应随着温度的上升而下增大。金属中的自由电子数上升，温度，，则由于＝如果FoFFEENEEENT)(费米球FFmEk2费米半径：(3)费米面：在波矢空间中，能量E=EF的等能面0KT=0K时,E=EF0以下能级全被电子占据.T≠0K时,EF-kBT范围内电子被激发到EF+kBT范围内.对金属热传导有重大影响.EF-kBTEF+kBTkBT≈2.35×10-2eV例题1如果电子浓度为n，用自由电子模型，求零度(0K)时,k空间中费米球的半径kF0。解:根据自由电子模型，K空间的状态密度为每个状态可容纳自旋方向相反的两个电子，如果费米球的半径取kF0，则总电子数为解出32V30334)2(2FkVN3120)3(nkF作业电子数目。的价计算该金属中每个原子个原子占据的体积，试为金属中每，时设某金属在？多少个相差和，则＝，在金属中若VVkKTTkEEEfEfoFB3/12212190.21.0)(9.0)(.1多少？是多少？对应波矢k是态由电子数为3N，量子讨论：原子数为N，自4）。动速度（先求平均能量试求自由电子的平均运V，K时的费米能级是5e设某种金属在03