线段和最短问题(马饮水)

专题一两条线段和最短问题（一）一．知识点：①轴对称的性质及应用（菱形、正方形都关于对角线成轴对称）②两个固定点之间的距离线段最短③两条平行线之间的距离垂线段最短、勾股定理基础模型（马饮水）：相传古希腊亚历山大亚里城有一位著名学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“如图，我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边为坐骑饮水.怎样走路程最近呢？”你能解答这个问题吗？能画出最近的路线吗？二．解题步骤①定（找定点）②对（画对称点）③点共线找最短最后求最短距离时①三个点中只要有定点求连线段最短（题1、2、4、5）②如果全是动点，此时最短线段为两条平行线之间垂线段的长度（题3）三．典型练习1.如图1，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC=60°，E是AB的中点，点P是BD上的一动点，那么AP+PE的最小值等于_______cm.图32.如图2，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．3.如图3，菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________4．如图4，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是．图4图55.如图5所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．6图2DABCPMN三拔高练习1.如图1，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，点M、N分别是边BC、AB上的动点，在对角线AC上找一点P，使PM+PN有最小值，其最小值是．2.如图2，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．图1图2图103.（苏州中考题）如图3,在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________.图3图4图54.如图4，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5.如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为__________6.如图6，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是__________7．如图7，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是_________图6图7图8图96．如图8，在△ABC中，AB=，∠CAB=15°，M、N分别是AC、AB上的动点，则BM+MN的最小值是？7．如图9，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．428.如图10已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=45，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，12）C．（65，35）D．（107，57）9.四川省中考题如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．