相似专题复习

第1页（共4页）相似专题复习一、选择题1.已知𝑥，𝑦，𝑧满足2𝑥=3𝑦−𝑧=5𝑧+𝑥，则5𝑥−𝑦𝑦+2𝑧的值为(  )A.1B.13C.−13D.122.如图，若△𝐴𝐵𝐶内一点满足∠𝑃𝐴𝐶=∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑃𝐶𝐵，则点𝑃为△𝐴𝐵𝐶的布洛卡点，三角形的布洛卡点（Brocard）由法国数学家和数学教育家克洛尔（A.L.Crelle，1780−1855）1816年首次发现，但他的发现并未被当时人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard，1845−1922）重新发现，并用他的名字命名，问题：已知在等腰直角三角形𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸𝐷𝐹=90∘，若𝑄为△𝐷𝐸𝐹的布洛卡点，𝐷𝑄=1，则𝐸𝑄+𝐹𝑄的值为(  )A.5B.4C.3+√2D.2+√23.如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐸是∠𝐷𝐶𝐵的平分线，且交𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐵与𝐶𝐸相交于𝑂，已知𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=4，则𝑂𝐵𝐷𝐵等于(  )A.13B.25C.37D.234.如图，路灯𝑂𝑃距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点𝑂）20米的点𝐴处，沿𝑂𝐴所在的直线行走14米到点𝐵处时，人影的长度(  )A.变长了1.5米B.变短了2.5米C.变长了3.5米D.变短了3.5米5.将𝐵𝐶⏜沿弦𝐵𝐶折叠交直径𝐴𝐵于点𝐷，若𝐴𝐷=4，𝐷𝐵=5，则𝐵𝐶的长是(  )A.3√7B.8C.√65D.2√156.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，中线𝐵𝐸，𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐷𝐸，则下列判断错误的是(  )A.𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线B.点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心C.△𝐷𝐸𝑂∽△𝐶𝐵𝑂D.𝑆△𝐷𝑂𝐸𝑆△𝐴𝐷𝐸=127.如图，已知𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐸𝐹都与𝐵𝐷垂直，垂足分别是𝐵，𝐷，𝐹，且𝐴𝐵=1，𝐶𝐷=3，那么𝐸𝐹的长是(  )A.13B.23C.34D.458.如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为4，𝐸是𝐵𝐶边上的一个动点，𝐴𝐸⊥𝐸𝐹，𝐸𝐹交𝐷𝐶于点𝐹，设𝐵𝐸=𝑥，𝐹𝐶=𝑦，则当点𝐸从点𝐵运动到点𝐶时，𝑦关于𝑥的函数图象是(  )A.B.C.D.第5题第6题第7题第2页（共4页）9.如图，⊙𝑂与Rt△𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵相切于点𝐷，与直角边𝐴𝐶相交于点𝐸，且𝐷𝐸∥𝐵𝐶．已知𝐴𝐸=2√2，𝐴𝐶=3√2，𝐵𝐶=6，则⊙𝑂的半径是(  )A.3B.4C.4√3D.2√310.如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐷是⊙𝑂上的点，且𝑂𝐶∥𝐵𝐷，𝐴𝐷分别与𝐵𝐶，𝑂𝐶相交于点𝐸，𝐹，则下列结论：①𝐴𝐷⊥𝐵𝐷；②∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐸𝐶；③𝐶𝐵平分∠𝐴𝐵𝐷；④𝐴𝐹=𝐷𝐹；⑤𝐵𝐷=2𝑂𝐹；⑥△𝐶𝐸𝐹≌△𝐵𝐸𝐷．其中一定成立的是(  )A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑤D.①③④⑤二、填空题（共6小题；共18分）11.如图，𝑙1∥𝑙2∥𝑙3，两条直线与这三条平行线分别交于点𝐴，𝐵，𝐶和𝐷，𝐸，𝐹．若𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=3，𝐷𝐸=6，则𝐷𝐹=．12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷为𝐴𝐶上一点，且𝐶𝐷𝐴𝐷=12，过点𝐷作𝐷𝐸∥𝐵𝐶交𝐴𝐵于点𝐸，连接𝐶𝐸，过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐶𝐸交𝐴𝐵于点𝐹．若𝐴𝐵=15，则𝐸𝐹=．13.如图，双曲线𝑦=𝑘𝑥经过Rt△𝐵𝑂𝐶斜边上的点𝐴，且满足𝐴𝑂𝐴𝐵=23，与𝐵𝐶交于点𝐷，𝑆△𝐵𝑂𝐷=21，求𝑘=．14.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐸𝐵𝐶=23，△𝐴𝐷𝐸的面积是8，则△𝐴𝐵𝐶的面积为．15.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷都在这些小正方形的顶点上，𝐴𝐵，𝐶𝐷相交于点𝑃，则tan∠𝐴𝑃𝐷的值是．16.如图，已知两条互相垂直的直线交于点𝑂，质点甲以1.5厘米/秒的速度从点𝐴由西向东前进到点𝐶，质点乙以2.5厘米/秒的速度从点𝐵由南向北前进到点𝐷．若𝐴𝑂=3厘米，𝐵𝑂=4厘米，则经过秒后，由𝐶，𝐷，𝑂三点组成的三角形恰与△𝐴𝑂𝐵相似．三、解答题（共10小题；共130分）17.如图，在正方形网格中，四边形𝑇𝐴𝐵𝐶的顶点坐标分别为𝑇(1,1)，𝐴(2,3)，𝐵(3,3)，𝐶(4,2)．（1）以点𝑇(1,1)为位似中心，在位似中心的同侧将四边形𝑇𝐴𝐵𝐶放大为原来的2倍，放大后点𝐴，𝐵，𝐶的对应点分别为𝐴ʹ，𝐵ʹ，𝐶ʹ，画出四边形𝑇𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶ʹ；（2）求四边形𝑇𝐴ʹ𝐵ʹ𝐶的面积（3）在（1）中，若𝐷(𝑎,𝑏)为线段𝐴𝐶上任一点，则变化后点𝐷的对应点𝐷ʹ的坐标为(  )．第3页（共4页）18.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径作半圆⊙𝑂，交𝐵𝐶于点𝐷，连接𝐴𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为点𝐸，交𝐴𝐵的延长线于点𝐹．（1）求证：𝐸𝐹是⊙𝑂的切线．（2）如果⊙𝑂的半径为5，sin∠𝐴𝐷𝐸=45，求𝐵𝐹的长．19.如图，点𝑃是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷上一点，连接𝐶𝑃并延长，交𝐴𝐷于𝐸，交𝐵𝐴的延长线点𝐹．问：（1）求证：△𝐴𝑃𝐸∽△𝐹𝑃𝐴；（2）猜想：线段𝑃𝐶，𝑃𝐸，𝑃𝐹之间存在什么关系?并说明理由．20.如图，𝐸，𝐹分别是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐷𝐶，𝐶𝐵上的点，且𝐷𝐸=𝐶𝐹，以𝐴𝐸为边作正方形𝐴𝐸𝐻𝐺，𝐻𝐸与𝐵𝐶交于点𝑄，连接𝐷𝐹．（1）若𝐸是𝐶𝐷的中点，求证：𝑄为𝐶𝐹的中点；（2）连接𝐴𝑄，设𝑆△𝐶𝐸𝑄=𝑆1，𝑆△𝐴𝐸𝐷=𝑆2，𝑆△𝐸𝐴𝑄=𝑆3，在（1）的条件下，判断𝑆1+𝑆2=𝑆3是否成立?并说明理由．第4页（共4页）21.已知：如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，𝐵𝐸⊥𝐷𝐶，垂足为点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐹．求证：（1）△𝐴𝐵𝐹∽△𝐵𝐸𝐷；（2）𝐴𝐶𝐵𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐸．22.将一副三角尺如图1摆放（在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐵=60∘；在Rt△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸𝐷𝐹=90∘，∠𝐸=45∘．），点𝐷为𝐴𝐵的中点，𝐷𝐸交𝐴𝐶于点𝑃，𝐷𝐹经过点𝐶．（1）求∠𝐴𝐷𝐸的度数；（2）如图2，将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐷顺时针方向旋转角𝛼(0∘𝛼60∘)，此时的等腰直角三角尺记为△𝐷𝐸ʹ𝐹ʹ，𝐷𝐸ʹ交𝐴𝐶于点𝑀，𝐷𝐹ʹ交𝐵𝐶于点𝑁，试判断𝑃𝑀𝐶𝑁的值是否随着𝛼的变化而变化?如果不变，请求出𝑃𝑀𝐶𝑁的值；反之，请说明理由．23.如图，二次函数𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴交于点𝐴(−1,0)，𝐵(2,0)，与𝑦轴相交于点𝐶．（1）求二次函数的解析式；（2）若点𝐸是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的面积最大时，求点𝐸的坐标，并求出四边形𝐴𝐵𝐸𝐶的最大面积；（3）若点𝑀在抛物线上，且在𝑦轴的右侧．⊙𝑀与𝑦轴相切，切点为𝐷．以𝐶，𝐷，𝑀为顶点的三角形与△𝐴𝑂𝐶相似，求点𝑀的坐标．