微积分三定理-基本公式牛顿—莱布尼茨公式

变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中设函数)(xf在区间],[ba上连续，并且设x为],[ba上的一点，xadxxf)(考察定积分xadttf)(记.)()(xadttfx积分上限函数如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，二、积分上限函数及其导数abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xxdttfdttfdttfxaxxxxa)()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xx说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:)(d)(ddxattfx)()]([xxf通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()]([)()]([xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx例如tantan,xadtdtxdx.22xdttdxdaxxadttdxd2sinxx21sin2xxdttdxd22cos4cos2xx2cosx例1求.lim21cos02xdtextx解：原式=21cos02limtxxedtxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.例2求2030sinlim.xxtdtx解：原式=2003sinlimxxtdtx220sinlim3xxx13例3求2050coslim.xxxtdtx解：原式=2401coslim5xxx4402lim5xxx1.10练一练2040020arctan1.limln12.limxxxxtdtxtdtx1212定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数,已知)(xF是)(xf的一个原函数，CxxF)()(],[bax证三、牛顿—莱布尼茨公式令ax,)()(CaaF0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa,)()(CdttfxFxa令bx).()()(aFbFdxxfba牛顿—莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba微积分基本公式表明：baxF)(一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.例4求.)1sincos2(20dxxx原式20cossin2xxx.23解（一）、直接积分法212212dxxx213123xxx1211221831.654例5求2211xdxx原式解例6设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx原式.6xyo12例7求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是||lnx,dxx12112||lnx.2ln2ln1ln例8计算曲线xysin在],0[上与x轴所围成的平面图形的面积.解面积xyo0sinxdxA0cosx.2练一练212020240221201.d1cos22.dcossin3.tand14.d15.1dxxxxxxxxxexexx3.微积分基本公式1.积分上限函数xadttfx)()(2.积分上限函数的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．思考题设)(xf在],[ba上连续，则dttfxa)(与duufbx)(是x的函数还是t与u的函数？它们的导数存在吗？如存在等于什么？思考题解答dttfxa)(与duufbx)(都是x的函数)()(xfdttfdxdxa)()(xfduufdxdbx一、填空题：1、baxdxedxd22=_______.2、xadxxfdxd))((__________.3、223)1ln(xdtttdxd_______.4、20)(dxxf____，其中21,210,)(2xxxxxf.5、xdttxx020coslim________.练习题二、计算下列各定积分：1、2122)1(dxxx;2、212121xdx;3、012241133dxxxx;4、20sindxx.三、求下列极限：1、2502021)cos1(limxdttxx.一、1、0；2、)()(afxf；3、)1ln(23xx；4、65；5、1.二、1、852；2、3；3、14；4、4.三、101.练习题答案