人教版高中数学《数列》全部教案

第三章数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。过程：一、从实例引入（P110）1．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,102．正整数的倒数51,41,31,21,13．，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.0124．1的正整数次幂：1,1,1,1,…5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2．名称：项，序号，一般公式naaa,,,21，表示法na3．通项公式：na与n之间的函数关系式如数列1：3nan数列2：nan1数列4：*,)1(Nnann4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。6．用图象表示：—是一群孤立的点例一（P111例一略）三、关于数列的通项公式1．不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）2．数列的通项公式不唯一如数列4可写成nna)1(和11na*,2*,12NkknNkkn3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111例二）略四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：1．1，0，1，0*,2)1(11Nnann2．32，83，154，245，3561)1(1)1(2nnann3．7，77，777，7777)110(97nna4．1，7，13，19，25，31)56()1(nann5．23，45，169，2561712212nnna五、小结：1．数列的有关概念2．观察法求数列的通项公式六、作业：练习P112习题3．1（P114）1、2《课课练》中例题推荐2练习7、8第二教时教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n项。过程：一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列na的前n项之和为Sn试证明：11SSSannn)1()2(nn证：显然1n时，11Sa当1n即2n时nnaaaS211211nnaaaS∴nnnaSS1∴11SSSannn)1()2(nn注意：1此法可作为常用公式2当)(11Sa时满足1nnSS时，则1nnnSSa例二：已知数列na的前n项和为①nnSn22②12nnSn求数列na的通项公式。解：1．当1n时，111Sa当2n时，34)1()1(2222nnnnnan经检验1n时11a也适合34nan2．当1n时，311Sa当2n时，nnnnnan21)1()1(122∴nan23)2()1(nn三、递推公式（见课本P112-113略）以上一教时钢管的例子3nan从另一个角度，可以：1411nnaaa)2()1(nn“递推公式”定义：已知数列na的第一项，且任一项na与它的前一项1na（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。例三（P113例三）略例四已知21a，41nnaa求na．解一：可以写出：21a，22a，63a，104a，……观察可得：)1(42)4)(1(2nnnan解二：由题设：41nnaa∴44432211nnnnnnaaaaaa)412aa)1(41naan∴)1(42nan例五已知21a，nnaa21求na．解一：21a22222a323222a观察可得：nna2解二：由nnaa21∴12nnaa即21nnaa∴112322112nnnnnnnaaaaaaaa∴nnnaa2211四、小结：由数列和求通项递推公式（简单阶差、阶商法）五、作业：P114习题3．13、4《课课练》P116-118课时2中例题推荐1、2课时练习6、7、8第三教时教材：等差数列（一）目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……3，0，3，6，……21，102，103，104，……)1(312nan12，9，6，3，……特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差”二、得出等差数列的定义：（见P115）注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．．。1．名称：AP首项)(1a公差)(d2．若0d则该数列为常数列3．寻求等差数列的通项公式：daddadaadaddadaadaa3)2(2)(1134112312由此归纳为dnaan)1(1当1n时11aa（成立）注意:1等差数列的通项公式是关于n的一次函数2如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP证明：若AnBABAnABAnan)1()()1(它是以BA为首项，A为公差的AP。3公式中若0d则数列递增，0d则数列递减4图象：一条直线上的一群孤立点三、例题：注意在dnaan)1(1中n，na，1a，d四数中已知三个可以求出另一个。例一（P115例一）例二（P116例二）注意：该题用方程组求参数例三（P116例三）此题可以看成应用题四、关于等差中项：如果bAa,,成AP则2baA证明：设公差为d，则daAdab2∴Adadaaba222例四《教学与测试》P77例一：在1与7之间顺次插入三个数cba,,使这五个数成AP，求此数列。解一：∵APcba成7,,,,1∴b是-1与7的等差中项∴3271ba又是-1与3的等差中项∴1231ac又是1与7的等差中项∴5273c解二：设11a75a∴d)15(172d∴所求的数列为-1，1，3，5，7五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业：P118习题3．21-9第四教时教材：等差数列（二）目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式二、例一在等差数列na中，d为公差，若Nqpnm,,,且qpnm求证：1qpnmaaaa2dqpaaqp)(证明：1设首项为1a，则dqpadqadpaaadnmadnadmaaaqpnm)2(2)1()1()2(2)1()1(111111∵qpnm∴qpnmaaaa2∵dpaap)1(1dpadqpdqadqpaq)1()()1()(11∴dqpaaqp)(注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：23121nnnaaaaaa同样：若pnm2则pnmaaa2例二在等差数列na中，1若aa5ba10求15a解：155102aaa即152aab∴aba2152若maa83求65aa解：65aa=maa833若65a158a求14a解：daa)58(58即d3615∴3d从而33396)514(514daa4若30521aaa801076aaa求151211aaa解：∵6+6=11+17+7=12+2……∴11162aaa12272aaa……从而)(151211aaa+)(521aaa2)(1076aaa∴151211aaa=2)(1076aaa)(521aaa=2×8030=130三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1．定义法：即证明)(1常数daann例三《课课练》第3课例三已知数列na的前n项和nnSn232，求证数列na成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：12311Sa当2n时56)]1(2)1(3[23221nnnnnSSannn1n时亦满足∴56nan首项11a)(6]5)1(6[561常数nnaann∴na成AP且公差为62．中项法：即利用中项公式，若cab2则cba,,成AP。例四《课课练》第4课例一已知a1，b1，c1成AP，求证acb，bac，cba也成AP。证明：∵a1，b1，c1成AP∴cab112化简得：)(2cabacaccaacaccacabacabacbccbaacb2222222)(=bcacabcaacca22)()()(22∴acb，bac，cba也成AP3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。例五设数列na其前n项和322nnSn，问这个数列成AP吗？解：1n时211Sa2n时321nSSannn∵321naan不满足∴322nan21nn∴数列na不成AP但从第2项起成AP。四、小结：略五、作业：《教学与测试》第37课练习题《课课练》第3、4课中选第五教时教材：等差数列前n项和（一）目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。过程：一、引言：P119著名的数学家高斯（德国1777-1855）十岁时计算1+2+3+…+100的故事故事结束：归结为1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和2．高斯的解法是：前100项和2)1001(100100S即2)(1nnaanS二、提出课题：等差数列的前n项和1．证明公式1：2)(1nnaanS证明：nnnaaaaaS1321①1221aaaaaSnnnn②①+②：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS∵23121nnnaaaaaa∴)(21nnaanS由此得：2)(1nnaanS从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。2．推导公式2用上述公式要求nS必须具备三个条件：naan,,1但dnaan)1(1代入公式1即得：2)1(1dnnnaSn此公式要求nS必须具备三个条件：dan,,1（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求nS必须已知nadan,,,1中三个3．例一（P120例一）：用公式1求nS例二（P120例一）：用公式2求n学生练习：P122练习1、2、3三、例三（P121例三）求集合100*,7|mNnnmmM且的元素个数，并求这些元素的和。解：由1007n得72147100n∴正整数n共有14个即M中共有14个元素即：7，14，21，…，98是为首项71aAPa的9814∴7352)987(14nS答：略例四已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由题设：31010S122020S得：