第07讲-随机变量及其分布函数、离散型随机变量的分布律..

CHAP2随机变量及其分布第07讲随机变量及其分布函数、离散型随机变量的分布律2.1.1随机变量为了全面研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将随机事件的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；每天从西安下火车的人数；昆虫的产卵数；在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}非数量将S数量化?可采用下列方法S红色白色)(eXR10即有X(红色)=1,.,0,,1)(白色红色eeeXX(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.实例2抛掷骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61}{iiXPS={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有eeX)(则有定义2.1设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，对于任何实数X，集合{e|X(e)≤X}有确定的概率，称X=X(e)为随机变量.而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).说明(1)随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.(3)随机变量与随机事件的关系实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则,)(所需射击次数eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:.,3,2,1实例4某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,)(此人的等车时间eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:].5,0[1.分布函数的定义说明,,(){}.XxFxPXxX设是一个随机变量是任意实数函数称为的分布函数2.1.2随机变量的分布函数分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们将能用高等数学的方法来研究随机变量．如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数)(xF在x处的函数值就表示X落在区间],(x上的概率．定义2.2实例5抛掷均匀硬币,令.,0,,1出反面出正面X求随机变量X的分布函数.解}1{Xp}0{Xp,2101x,0时当x;0}0{)(xXPxF01x,10时当x}{)(xXPxF}0{XP;21,1时当x}{)(xXPxF}0{XP}1{XP2121.1.1,1,10,21,0,0)(xxxxF得201()(),(,);Fxx且有0()lim(),xFFx1()lim();xFFx0003()lim()(),().xxFxFxx即分布函数是右连续的2.分布函数的性质即是一个不减函数()Fx12121()()(),();FxFxxx重要公式),()(}{)1(aFbFbXaP).(1}{)2(aFaXP例1设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质，我们有()arctanFxABxx求常数A、B。0limlimarctanxxFxABx2AB1limlimxxFxABarctgx2AB解方程组1202BABA得解．，121BA1.分布律的定义定义2.3设离散型随机变量X所有可能的取值为，X取各个可能值得概率，即事件的概率，为．称此为离散型随机变量X的分布律。12(,,)kxk{}kXx12{},,,kkPXxpk2.2.1离散型随机变量的分布律分布律也可以用表格的形式来表示;,2,1,0)1(kpkX概率12kxxx12kppp离散型随机变量X的分布律具有以下性质：.1)2(1kkp(3)离散型随机变量的分布律与分布函数的关系：离散型随即变量X的分布函数(){}{}kkkkxxxxFxPXxPXxpkxx这里和式是对所有满足的k求和。反之，若已知离散型随即变量X的分布函数F(x),则其分布律为：1111(),()(),kkkpFxpFxFxk例2设离散型随机变量X的分布律如下，求a的值。12{}(,,,,)!kaPXxknk111!!kkaakk解：由归一性，我们有，而11!kak则有等式a(e-1)=1,解得a=1/(e-1)011!kak1()ae例3设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p解：以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为：Xpk01234p(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4或写成P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4例4设一求职者在应聘某一工作岗位时需先经过两次测试，每次测试以1/2的概率允许或阻止其通过．以X表示求职者首次被淘汰时，他已通过的测试次数(设各次测试是相互独立的)，求X的分布律与分布函数．解以p表示每次测试阻止求职者通过的概率，易知X的分布律为X012概率p(1-p)p(1-p)22{}(1),0,1,{2}(1)kPXkppkPXp1/2p或写成以代入得X012概率0.50.250.25当0x时，{}Xx是不可能事件，因此()0Fx；下面求X的分布函数()Fx：当01x时，{}Xx等同于{0}X，因此(){0}0.5FxPX；当12x时，{}Xx等同于{01}XX或，因此(){0}{1}0.50.250.75FxPXPX；当2x时，{}Xx为必然事件，因此()1Fx．()Fx0,0,0.5,01,()0.75,12,1,2.xxFxxx综合起来，的表达式为