2-4-随机变量的函数分布

一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布.)(,,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf记作的函数为随机变量则称随机变量的值而取的值取值随着若随机变量的集合上的函数的一切可能值是定义在随机变量设问题?)(的分布变量的分布求得随机量如何根据已知的随机变XfYX一、离散型随机变量的函数的分布Y的可能值为;2,1,0,)1(2222即0,1,4.解}0{}0{}0{2XPXPYP,41.2的分布律求的分布律为设XYXXp210141414141例1)}1()1{(}1{}1{2XXPXPYP}1{}1{XPXP,214141}2{}4{}4{2XPXPYP,41故Y的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXgYX.)(,Xkpkxxx21kppp21的分布律为则)(XgYkp)(XgYkppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并应将相应的中有值相同的若kkpxgY的分布律为Yp412121例2解Xkp211616263.52的分布律求XY设第一步}{)(yYPyFY}82{yXP解二、连续型随机变量的函数的分布.82.,0,40,8)(的概率密度求随机变量其他的概率密度为设随机变量XYxxxfXX例3xxfyXd)(2828yXP.)(82yFXYY的分布函数先求)()(yFyfyY,2828yyfX第二步由分布函数求概率密度.]d)([28xxfyX.,0,4280,212881)(其他所以yyyfY.,0,168,328其他yy}{)(yYPyFY}{2yXP}{yXyP)()(yFyFXX.32.0,e,0,0)(232的概率密度和求随机变量的概率密度为设随机变量XYXYxxxxfXxX解,2分布函数先求随机变量XY例4.d)(d)(xxfxxfyXyX)()(yFyfYY))(())((yyfyyfXXyyyy210e)(212)(3.0,0,0,2eyyyy再由分布函数求概率密度.32xy,23yx]d)([)()(23yXyYxxfyFyf.3,0,3,23e232233yyyyy时，有当32XY.数的概率密度的方法的函出计算连续型随机变量　　由上述例题可归纳.3,0,3,e)23(212)23(3yyyy.)()()),(),(max()),(),(min(的反函数是其中xgyhggβggα.,0,,)()]([)(,)(,)0)((0)(,)(,),(其他其概率密度为变量型随机是连续则称或恒有且恒有处处可导又设函数中其的具有概率密度　　　设随机变量βyαyhyhfyfYgYxgxgxgxxfXXYX定理证明X的概率密度为.,eπ21)(222)(xσxfσμxX,)(baxxgy设,)(abyyhx得.01)(ayh知.)0(,),(~2也服从正态分布数的线性函试证明设随机变量abaXYXσμNX例5222)(eπ211σμabyσa.,eπ2122)(2)]([yσaaσaμby.),(1)(yabyfayfXY.,0,,)()]([)(其他由公式yyhyhfyfXY))(,(~2aσbaμNbaXY得的概率密度为得baXY.,2π,2π~,,,sin的概率密度求电压试且有是一个随机变量相角数是一个已知的正常其中设电压VUΘΘAΘAV解上恒有在因为2π,2πsin)(θAθgv,0cos)(θAθg,arcsin)(Avvhθ所以反函数为,1)(22vAvh例6的概率密度为知又由ΘUΘ,2π,2π~.,0,2π2π,π1)(其他θθf的概率密度为由定理得ΘAVsin.,0,,1π1)(22其他AvAvAvφ??)(,,)(又怎样是连续型的若也是离散型随机变量吗则是离散型随机变量若是连续函数设XXgYXxg.,.,,,量不一定是连续型随机变那么机变量是连续型随若是离散型随机变量因此限多个列无的取值也是有限个或可因此可列无限多个它的取值是有限个或是离散型随机变量若YXYYX概率密度为上服从均匀分布在设,)2,0(X.,0,20,21)(其他xxf.21,1,10,)(xxxxgy又设连续函数:)()(可以计算出来的分布函数则yFXgYY例如，,]1,0[的取值为由于Y所以,0时当y,1时当y,10时当yxxfxxfyyxgd)(d)()(xyd210;0}{)(yYPyFY;1}{)(yYPyFY})({}{)(yXgPyYPyFY.2y,.1,110,2,0,0)(yyyyYFYY的分布函数为故,1)(处间断在因为yyFY,)(不是阶梯函数又因为yFY,)(不是连续型随机变量故XgY.)(也不是离散型随机变量故XgY一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布XY012121312312112101211221220122的分布律为设随机变量),(YX例1.)2(,)1(的分布律求YXYX概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123221,122121,121)2,3(122)0,3(122XY012121312312112101211221220122解等价于概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(1232,211221,21121)2,3(122)0,3(122YX321232113YX101252353YXP321232113121121123122121122122YXP01252353124121122121122122的分布律分别为所以YXYX,结论的分布律为若二维离散型随机变量,,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXgZ}),({}{kkzYXgPzZP.,2,1,)(kpjikyxgzij例2设两个独立的随机变量X与Y的分布为XP317.03.0YP424.06.0},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解求随机变量的分布律.YXZ可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ3557所以YXZP35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为XP105.05.0.),max(:的分布律试求YXZ},{}{},{jYPiXPjYiXP所以于是XY1010221221221221解,相互独立与因为YX}),{max(iYXP},{iYiXP},{iYiXP}0),{max(YXP}0,0{P,212}1),{max(YXP}1,1{}1,0{}0,1{PPP222212121.232分布律为的故),max(YXZZP104341XY1010221221221221的分布函数为则的概率密度为　　设YXZyxfYX),,(),(}{)(zZPzFZyxyxfzyxdd),(xyOzyxyux二、连续型随机变量函数的分布1.Z=X+Y的分布yxyxfyzdd),(yuyyufzdd),(.dd),(uyyyufz由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ由于X与Y对称,当X,Y独立时,也可表示为)(zfZ,d)()()(yyfyzfzfYXZ.d)()()(xxzfxfzfYXZ或由公式,d)()()(xxzfxfzfYXZ解,,eπ21)(22xxfxX由于,,eπ21)(22yyfyY例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度..)2,0(分布服从即NZ2zxtttzdeeπ21242.eπ2142zxzfxzxZdeeπ21)(2)(222xzxzdeeπ212242得说明.),(~,.),(~,),(~,,222121222211σσμμNZYXZσμNYσμNXYX且有仍然服从正态分布则相互独立且设一般有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布..的概率密度求电阻其他它们的概率密度均为相互独立设串联联接和两电阻在一简单电路中212121.,0,100,5010)(,,,,RRRxxxfRRRR解的概率密度为由题意知R.d)()()(xxzfxfzfR例5,100,100xzx当,,10,100时即zxzxO1020zx10zxzx10x.d)()()(中被积函数不为零xxzfxfzfR)1(.,0,2010,d)()(,100,d)()()(10100其他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf.,0,100,5010)(其他将xxxf此时.,0,100,50)(10)(其他xzxzxzf.,0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其他zzzzzzzfR式得代入)1(的概率密度分别为分布的数为相互独立且分别服从参设2122112121,)),,(~),,(~(,;,,XXβαXβαXβαβαXX.,0,0,e)()()(1111其他xβxαβxfβxαX,0,01βα.,0,0,e)()()(1222其他yβyαβyfβyαX,0,02βα.,2121分布的服从参数为试证明βααXX例6证明xxzfxfzfXXZd)()()(21,0时当z.0)(zfZ易知的概率密度为时当21,0XXZzxxzfxfzfXXZd)()()(21xxzβαββxαβxzβαβxαzde)]([)(e)()()(1210121,d)()()(e101212121xxzxααβαzαβzαα,ztx令tttβzααβααβzααd)1(e)()()(11011212121,e)(121βzααβzA.d)1()()(11012121tttααβAαα其中,A得由概率密度的性质可