模糊数学的应用

1基于对模糊数学综合评判法的研究（河西学院数学与应用数学专业2013届甘肃张掖734000）摘要分析及评判常用的毕业论文评价方法,分析了其存在的弊端,如可操作性不强、主观性大、评价标准不合理等.针对以上问题，提出了模糊综合评价法,通过数学模型和科学计算为检测环境提供了一种较为可靠、方便、简洁的评估方法.关键词模糊数学评判法;室内环境质量分析;毕业论文成绩综合分析中图分类号G642.4750引言模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合”论为基础。它提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。模糊数学由美国控制论专家L.A.扎德（L.A.Zadeh,1921--）教授所创立。他于1965年发表了题为《模糊集合论》（《FuzzySets》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。L.A.扎德教授提出了“模糊集合论”。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系。在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾，它给描述模糊系统提供了有力的工具。L.A.扎德教授于1975年所发表的长篇连载论著《语言变量的概念及其在近似推理中的应用》，提出了语言变量的概念并探索了它的含义。模糊语言的概念是模糊集合理论中最重要的发展之一，语言变量的概念是模糊语言理论的重要方面。语言概率及其计算、模糊逻辑及近似推理则可以当作语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力特别引人注目，或许从研究模糊语言入手就能把握住主客观的模糊性、找出处理这些模糊性的方法。有人预言，这一理论和方法将对控制理论、人工智能等作出重要贡献。二、数学模型1.模糊集（Fuzzyset）定义1设X是论域，称映射A：X→[0,1]为X上的模糊集合（Fuzzyset）2简称F集，记为A。称A(x)为元素x相对于F集的隶属度。称A(·)为F集A的隶属函数。（1）模糊集合的表示：U={u1,u2⋯，un}，A(u)称为元素u属于模糊A的隶属度；则模糊集可以表示为：A=A(u1)u1+A(u2)u2+⋯A(un)un，或A={A(u1)，A(u2),⋯，A(un)}。A={(u1，A(u1))，(u2，A(u2))，⋯，(un，A(un))}。（2）设指标集为F={F1，F2，⋯,Fn}评价集为A={A1，A2，⋯，Am}；指标权重系数模糊子集为{ω1,ω2,⋯,ωi}且∑ωi=1ni=1.对指标集内诸因素做出各种评定是一种模糊映射.对单因素的评定,由于不同的评价人员有可能做出员有做出不同的评定,因此,描述评价的结果只能用对Fi做出Aj评定的可能性大小来表示,这种可能的程度称为隶属度,记作rij对于某个确定的i,j可由1到m优取值．F的第i个指标对应的Fi评价集A中的评价A1，A2，⋯,Am的隶属度ri1,ri2,⋯rim分别为F的一指标对于A中的每一种评价的隶属度组成了A上的模糊子集,记为Ri={ri1,ri2,⋯，rim}．对于每一指标Fi(i=1，2，⋯,n)都求出对应的Ri,就构成了一个F×A上的模糊矩阵,R=[R1R2⋮Rn]=[r11r12⋯r1mr21r22⋯r2m⋮⋮⋯⋮rn1rn2⋯rnm]对矩阵W和R做模糊矩阵乘法得：B=W•R=(ω1,ω2,⋯,ωi)•[r11r12⋯r1mr21r22⋯r2m⋮⋮⋯⋮rn1rn2⋯rnm]=(b1,b2,⋯,bm)式中“•”为Zadeh积合成运算,其法则为：(1)积矩阵的行数=W矩阵的行数,积矩阵的列数=R矩阵的列数.(2)积矩阵的每个元素按照先取小∧,后取大∨的规则确定,即bj=⋁(ωini=1∧rij)=(ω1∧r1j)∨(ω2∧r2j)⋯(ωn∧rij),(j=1,2,⋯,m).对B进行归一化处理,既得B∗=(b1∗,b2∗,⋯,bm∗),bij∗=bjb1+b2+⋯+bm,(j=1,2,⋯,m).3为了便于综合分析,可利用双权法把上述结果转化成相应的综合评价值.对于第i种评价赋以新的权系数Cj(即对评价再加权,j=1,2,⋯,m),得到新的权重向量C⃗,且C⃗=（c1,c2,⋯,cm）,将其乘以综合评价向量B⃗⃗,即求得综合评价值为:S=C⃗•B⃗⃗=c1b1∗+c2b2∗+⋯,+cmbm∗。三、问题分析在某市儿童医院血液病研究所10年中收治的1800多名儿童白血病患儿中,有46.7%的孩子家里在半年内进行过房屋装修.随着国家室内空气质量标准GB/T1883-2002的发布和实施,判断室内环境获取质量的优劣有了可靠的依据.但至今没有一个简单易行和有效方法.鉴于模糊数学在质量评价等方面的广泛应用,考虑引入模糊数学综合评判法来评价室内空气质量的优劣.实例：某客户要装修房屋,现有甲、乙两个装潢公司可供选择。为了使装修后污染较低，分别对其已装修房屋进行检测其室内空气污染物含量如下,试判断甲、乙污染程度。甲公司：甲醛：0.32mg/m3；苯：0.18mg/m3；甲苯：0.23mg/m3；二甲苯：0；氨：0.27mg/m3；可吸入物：0.21mg/m3.乙公司：甲醛：0.33mg/m3；苯：0.16mg/m3；甲苯：0.22mg/m3；二甲苯：0；氨：0.25mg/m3；可吸入物：0.24mg/m3.3.1评价因子的确定为准确评价室内空气质量的优劣,我们依据模糊数学评价模式,首先确定评价参数.影响室内环境空气质量的因子很多,GB/T18883-2002中列出了19项指标.但从新装修的房屋来看,其主要的污染物有甲醛、笨系列、可吸入物、氨等.将上述几项因子构成评价因素集：X={x1,x2,x3,…}.同时这几项因子的权重构成权重集：W={w1,w2,w3,…}根据长期的现场监测经验,采用主观方法将GB/T18883-2002中的甲醛、苯系物、可吸入物、氨、这四项因子的标准分为四个等级.将GB/T18883-2002中的标4准值确定为良好等级,该标准值的1/2确定为优级,超过该标准一倍值确定为轻污染等级,当各因子监测值达到1mg/m3时以上时确定为重污染等级.3.2分级标准表1各污染因子的分级标准及平均值因子优良轻重平均值甲醛0.050.100.201.00.34苯0.0550.110.221.00.35甲苯0.100.200.401.00.43二甲苯0.100.200.401.00.43氢0.100.200.401.00.43可吸入物0.0750.150.301.00.383.3各因子对评价等级的隶属度用线性函数形式表示隶属度𝐮(𝐱)={𝟏,𝐱a2𝐀|(𝐱−𝐚)|,a1𝑥a2𝟎,𝐱≤a1}式中a1,a2代表相邻两级空气质量I、J的标准值,x为样本中某评价因子的实测值,A为系数,a取a1或a2.求出各因子对评价等级的隶属度1.用中值法确定系数A的值以指标甲醛为例：0.32mg/m30.5=A|(0.2+1)/2-1|→A=1.25A|x-a|=u→u=1.25*|0.32-1|=0.853.4用隶属度函数公式求各因子对评价等级的隶属度表2甲公司各污染因子对不同等级的隶属度因子ux1ux2ux3ux45甲醛000.850.15苯00.330.670甲苯00.850.150二甲苯1000氨00.650.350可吸入物00.600.400表3乙公司各污染因子对不同等级的隶属度因子ux1ux2ux3ux4甲醛000.830.14苯00.310.640甲苯00.830.130二甲苯1000氨00.600.330可吸入物00.620.4203.5建立模糊关系建立模糊关系矩阵是反映评价因子对各级环境空气隶属度的一种转化关系.它由样品中单因子评价集构成.R甲=[000.850.1500.330.67000.850.150100000.650.35000.60.40]R乙=[000.830.1400.310.64000.850.130100000.650.33000.670.420]63.6计算权重——指数超标法环境质量分指数Pi=Ci/C0i.式中Ci为第I种污染物的测量值.Pi表明室内空气中污染物浓度超标倍数越大对室内环境空气污染贡献越大.权重Wi=Pi(C0i各等级的平均值).在求得各污染因子的权数Wi时为,进行模糊取∑Wi=1ni=1结果为:W=（0.30,0.16,0.17,0.20,0.17）3.7综合评判——最大隶属度模糊综合评判模式为：W·R=B(B是综合评价的结果)B=W·R甲=(0.30,0.16,0.17,0.20,0.17）·[000.850.1500.330.67000.850.150100000.650.35000.60.40]=(0,0.4293,0.5257,0.045)B=W·R乙=(0.30,0.16,0.17,0.20,0.17）·[000.830.1400.310.64000.830.130100000.600.33000.620.420]=(0,0.4361,0.4809,0.042)结果表明,甲公司室内环境空气对优等级的隶属度为0,对良好等级的隶属度为0.4293,对轻污染等级的隶属度为0.5257，对重污染等级的隶属度为0.045。乙公司室内环境空气对优等级的隶属度为0,对良好等级的隶属度为0.4361,对轻污染等级的隶属度为0.4809，对重污染等级的隶属度为0.042。根据室内空气的监测结果甲公司对轻污染的隶属度比乙公司的大.故评判甲公司室内空气的质量较为环保.结论:通风条件下甲公司装修房室内环境空气质量在良好与轻污染之间,偏7重于轻污染,在保持良好的通风条件下可居住.结束语本文采用模糊数学模糊综合评定室内空气质量主要有以下优越性:(1)科学性.模糊数学方法对室内环境情况进行了量化处理,充分考虑了各评价指标之间的内在关系和评价系统的模糊性，所得到的量化的值在一定程度上能真实反映室内空气质量情况,因此,该方法具有科学性.(2)可靠性.本文采用的模糊数学模型自身在理论体系上是严密的,加之选择的评价者具有一定的代表性,在此基础之上所得到的结果显然具有一定的可比性,避免了由于学科之间的差异带来的评价难度.(3)可行性.整个计算步骤明确,判断简便,数学模型建立后,即可用计算机编程进行统一的数据处理，减少了工作量.在评估室内环境上提供准确的依据,切实保护人体健康.综上所述,用模糊数学理论和技术评估环境质,步骤更清晰它将定量与定性较好的整合起来,显示出其它方法无法比拟的优越性.参考文献[1]王致和.高等学校教育评估[M].北京；北京师范大学出版社,2001；362～369.[2]王小雪.本科毕业论文管理质量与绩效评价[J].教育探索,2004(8)；63～64.[3]关志明,束军意,马钦海.学位论文质量的多层次模糊综合评价模型及其应用[J].[4]刘晋寅,吴孟达.模糊理论及其应用[M].北京；国防科技大学出版社,2001；213～219.[5]曾艳,叶力汉,教学技术学专业本科毕业论文（设计）管理体系的重构与实践研究[J]。