初中数学圆的专题复习

圆最新考题中考要求及命题趋势1、理解圆的基本概念与性质。2、求线段与角和弧的度数。3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。4、直线和圆的位置关系。5、圆的切线的性质和判定。6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。7、圆和圆的五种位置关系。8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。两圆相切、相交的性质。9、掌握弧长、扇形面积计算公式。10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。2010年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。应试对策圆的综合题，除了考切线必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。就是说几何所有的东西都是通的，你学后面的就自然牵扯到前面的，前面的忘掉了，简单的东西忘掉了，后面要用就不会用了，所以几何前面学到的知识、常用知识，后面随时都在用。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。圆这一章，特别是有关圆的性质这两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。掌握之后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。都是哪些思路呢？我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算例1、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．解题思路：运用圆的垂径定理等内容解：(1)不同类型的正确结论有：①BE=CE;②弧BD=弧CD③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC;⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC;(2)∵OD⊥BC，∴BE＝CE=12BC=4．设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2．在Rt△OEB中，由勾股定理得OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5．∴⊙O的半径为5例2.已知：如图等边ABC△内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC△是什么三角形？并说明理由．（2）若AP不过圆心O，如图②，PDC△又是什么三角形？为什么？解题思路：（1）PDC△为等边三角形．理由：ABC∵△为等边三角形ACBC∴，AOCDPB图①AOCDPB图②又∵在⊙O中PACDBC又APBD∵APCBDC∴△≌△．PCDC∴[来源:Zxxk.Com]又AP∵过圆心O，ABAC，60BAC°1302BAPPACBAC∴°30BAPBCP∴°，30PBCPAC°303060CPDPBCBCP∴°°°PDC∴△为等边三角形．（2）PDC△仍为等边三角形理由：先证APCBDC△≌△（过程同上）PCDC∴60BAPPAC∵°又BAPBCP∵，PACPBC60CPDBCPPBCBAPPAC∴°又PCDC∵PDC∴△为等边三角形．例3.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力．解答：(1)证明：连结OD则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO[来源:Z|xx|k.Com]又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED∴CD=CE(2)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE又∠AEF=∠CED∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED∴CD=CE考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。例1、AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若30P，求B的度数．解题思路：运用切线的性质.PA切⊙O于AAB，是⊙O的直径，∴90PAO．[来源:学。科。网Z。X。X。K]30P，∴60AOP．∴1302BAOP例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若301cmDBCDE，，求BD的长．解题思路：运用切线的判定（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA．OAODODAOAD，．OADEDA．OACE∥．AEDE，9090AEDOAEDEA，．AEOA．AE是⊙O的切线．（2）BD是直径，90BCDBAD．ABCPODECBOADECBOA3060DBCBDC，，120BDE．DA平分BDE，60BDAEDA．30ABDEAD．在RtAED△中，90302AEDEADADDE，，．在RtABD△中，903024BADABDBDADDE，，．DE的长是1cm，BD的长是4cm．考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。例1、如图，已知在⊙O中，AB=34，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.解题思路：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=21AB=23。在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=OAAE．∴OA=30cosAE=2332=4．又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．∵AC⊥BD，∴BCCD．∴∠COD=∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．∴S阴影=2π360nOA=212016π4π3603．法二：连结AD．∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD。∴AB=AD，BF=FD，BCCD。∴∠BAD=2∠BAC=60°，∴∠BOD=120°．ABCDOFEABCDOF∵BF=21AB=23，sin60°=ABAF，AF=AB·sin60°=43×23=6。∴OB2=BF2+OF2．即222(23)(6)OBOB．∴OB=4．∴S阴影=31S圆=16π3。法三：连结BC．∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°。∵AB=43，∴438cos3032ABAC∵∠A=30°，AC⊥BD，∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°．∴S阴影=360120π·OA2=31×42·π=16π3。以下同法一。（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴1202ππ4180r∴43r。例2.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（3）当⊙O的半径(0)RR为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．解题思路：（1）连接BC，由勾股定理求得：2ABAC213602nRS（2）连接AO并延长，与弧BC和O交于EF，，22EFAFAE弧BC的长：21802nRl222r圆锥的底面直径为：222r2222，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．ABCDOFABCO①②③ABCO①②③EF（3）由勾股定理求得：2ABACR弧BC的长：21802nRlR222rR圆锥的底面直径为：222rR22(22)EFAFAERRR2222且0R2(22)2RR即无论半径R为何值，2EFr不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．“圆”的试题集锦一、选择题1．（北京市西城区）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（）（A）15（B）30（C）45（D）602．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的41，那么这个圆柱的侧面积是（）（A）100π平方厘米（B）200π平方厘米（C）500π平方厘米（D）200平方厘米3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）（A）225寸（B）13寸（C）25寸（D）26寸4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（）（A）6（B）25（C）210（D）2145．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A）2厘米（B）22厘米（C）4厘米（D）8厘米6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A）7厘米（B）16厘米（C）21厘米（D）27厘米7．（重庆市）如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（）（A）54（B）45（C）43（D）658．（重庆市）一居民小区有一正多边形的活动场．为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，比多边形的内