“用二分法求方程的近似解”教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教材分析：本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。本节内容是课标教材中新增的内容。在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。二、设计意图与学情分析:学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点”这一环节的理解上相对比较困难，对精确的理解耶比较困难。同时在运算过程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻碍，在课前应给学生提前预习，以做好思想准备。学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论.三、教学目标：（1）理解二分法的基本思想，能够借助计算器用二分法求给定方程满足一定精确度的近似解；（2）引导学生通过观察和计算体会二分法，感受函数与方程的思想，使学生在学习过程中体会近似思想、逼近思想、算法思想；（3）帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，形成正确的数学观，通过生活实例培养学生的数学应用意识，激发学生的学习兴趣。四、教学重点：理解二分法的基本思想，把找方程近似解转化为缩小函数零点所在区间，对函数与方程的关系及化归思想有更深入的认识。教学难点：对精确度的理解，用二分法求近似解中，在不断缩小区间时，对区间端点的循环迭代替换的理解.五、教学支持条件分析将问题导学法、讨论法、游戏体验法等多种教学方法有机结合，并结合多媒体手段，组织学生自主探究学习，合作交流完成本节的内容。学生的课前准备：1复习前一节课的内容，熟悉连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；2准备好科学计算器，熟悉科学计算器的使用；3完成老师发给的导学案（附件中）。教师的教学准备：将上课内容制作成课件。六、教学过程：（一）复习引入上一节课我们学习了方程的根与函数的零点的关系，也学习了方程的根的存在性定理。我们一起来回忆一下：1.方程的根与函数的零点有什么关系？答：方程的根是相应函数的零点，函数的零点是相应方程的根。求一个方程的解时，如果直接从方程角度入手难度较大时，我们可以尝试从“求函数的零点”入手。2.还记得根的存在性定理吗？答：如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么函数()yfx在区间(,)ab内有零点，这个零点也是方程()0fx的根.【设计意图】培养学生复习的习惯，对上节课的复习为本节的学习提供了知识保障。（二）新课讲授在数学学习中，解方程将是我们经常遇到的问题。问题1：你会求下列方程的根吗？2(1).213;(2).3210;(3).ln260.xxxxx【设计意图】从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认识冲突，激起进一步探究的欲望.对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，从方程角度入手不知如何下手，这时教师适时点拨引导：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题。方程ln260()ln26xxfxxx相应的函数是，由课本88页例1我们知道函数()ln26fxxx在区间（2,3）内有唯一零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置。例求方程ln260xx的近似解.（精确度为0.01）教师引导分析：根据前面我们的分析，我们可以将“求方程ln260xx的近似解”问题转变为“找函数()ln26fxxx在区间（2,3）内的近似零点”问题。问题2：那么怎么找出这个近似零点呢？【设计意图】进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，这样一来问题更具有游戏的味道，激发学生的学习热情。在“找”这个零点之前，我们先来玩个小游戏：前两天我刚刚买了个手机，为了游戏更有趣，我暂且不能告诉大家是什么牌子，我只能告诉大家这个手机的价位是2000~3000元，如果我给大家6次猜价的机会，我只能告诉大家猜的价格比真实值多或少，大家能否猜出与手机真实价钱的误差在50元以内的价钱？注意啊，你们的机会只有6次！第一次猜价：2500元，教师提示少了，手机价钱范围缩小到2500~3000元，此时还不能确保误差小于50元（为什么？）；第二次猜价：2750元，教师提示多了，手机价钱范围缩小到2500~2750元，此时还不能确保误差小于50元（为什么？）；一次类推到第五次的时候，学生成功的猜出误差在50以内的价钱。游戏结束。问题引导总结：问题3：大家如何猜误差在50元内的价格？问题4：猜价过程当中，大家发现手机价钱的范围有什么变化？问题5：我们为什么猜到第5次就停止？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，直到“猜值”与真实值的最大误差小于50元为止。这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】使学生更加轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的显示使用价值，借此培养学生的数学应用意识.回到“例求方程ln260xx的近似解.（精确度为0.01）”。问题6：利用刚才我们猜价格的方法，借助计算器，你能“找函数()ln26fxxx在区间（2,3）内的近似零点（精确度为0.0.1）”吗？【设计意图】从游戏把学生拉回本节主题，把游戏和本例的解决过程融合到一起对比分析比较，使学生真正的理解二分法的本质.模仿猜价格的方法，学生很快找出“寻找近似零点”的方法，注意鼓励学生用通俗的语言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本质内涵。给出教材上的规范的定义。（结论归纳）1.二分法的定义对于在区间[,]ab上连续不断，且()()0fafb的函数()yfx，通过不断地把函数()yfx的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解（或对应方程的近似根）的方法叫做二分法.注：结合例题来理解二分法的定义。2.利用二分法求方程近似解的步骤：1.确定初始区间，验证f(a)f(b)02.求区间的中点x1＝2ab3.计算：f(x1)判断：(1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a)f(x1)0，则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)中)；(3)如果f(a)f(x1)0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)；4.判断是否达到精确度ε：即若最终区间长度小于ε，则得到零点近似值是(a,b)区间内的一点；否则重复2～4步骤。3.口诀定区间，找中点，中值计算两边看。同号去，异号算，零点落在异号间。周而复始怎么办？精确度上来判断。【设计意图】让学生进一步总结用二分法求方程近似解的思维过程，归纳解题步骤，使学生由经验水平上升到理论水平。通过归纳总结形成二分法的理论知识，训练学生数学表达能力，培养学生的概括能力。（三）、课堂练习课堂练习1：下列函数中能用二分法求零点的是（）问题7：根据练习，请思考用二分法求零点的条件是什么？【设计意图】让学生辨析什么情况下事宜用二分法求零点，辨析过程也是学生认识完善的过程。课堂练习2：用二分法求函数()yfx在(1,2)x内零点近似值的过程中得到(1)0,(1.5)0,(1.25)0fff，则零点落在区间（）.(1,1.25)A.(1.25,1.5)B.(1.5,2)CD.不能确定【设计意图】进一步巩固如何判断零点所属区间的方法。课堂练习3：计算函数32()22fxxxx的一个正零点近似值，列表如下：中点坐标中点函数值取区间[1,2]01.5x0()0fx[1,1.5]11.25x1()0fx[1.25,1.5]21.375x2()0fx[1.375,1.5]31.4375x3()0fx[1.375,1.4375]41.40625x4()0fx[1.40625,1.4375]若精确度为0.1，结果是。【设计意图】进一步理解二分法的定义及解题步骤，理解精确度的含义。（四）、课堂小结问题8：这节课你有哪些收获？（二分法的定义；用二分法求方程近似解的步骤）教师补充：（五）、作业1.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅至少经过几次查找使故障范围缩小到50~100m左右？2.《新课程学习与测评》活页二十三