4-1-随机变量的数学期望

第四章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望数学期望的引例例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为90852802756071221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均1.离散型随机变量的数学期望111{},1,2,.,,().().kkkkkkkkkkkXPXxpkxpxpXEXEXxp定义：设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛则称级数的和为随机变量的数学期望记为即一、随机变量的数学期望关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.他们的射击技术分别为乙两个射手甲,,试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,,21XX为乙射手击中的环数分别设甲故甲射手的技术比较好.例2如何确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,欲估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否作此项投资?解设X为投资利润,则),(17.023.08)(万元XE存入银行的利息:),(5.0510万元%故应选择投资.Xp823.07.0例3二项分布),,,2,1,0(,)1(}{nkppknkXPknk.10p则有}{)(0kXPkXEnkknknkppknk)1(0设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为knknkppknkkn)1()!(!!0)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp1)]1([nppnp)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp则两点分布B(1,p)的数学期望为p.=np例4泊松分布.0,,2,1,0,!}{kekkXPk则有0()!kkEXkek11(1)!kkekee.且分布律为设),(P~X例5几何分布102111pkpqpqkXPk;,,;,}{则有1111kkkkqkppqkXE)(的分布律为设Xvr.1kkqp)()(1kkqppqpqqp11112)()(2.连续型随机变量数学期望的定义(),()d,()d,().()()d.XpxxpxxxpxxXEXEXxpxx设连续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛则称积分的值为随机变量的数学期望记为即定义4.2例6均匀分布则有()()dEXxpxxbaxxabd1.,,,)(其它01bxaabxp其概率密度为设),,(~baUX1().2ab结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.例7指数分布..,,,)(,0000其中其概率密度为服从指数分布设随机变量xxexpXx则有()()dEXxpxx0dxxex.100dxxxeex设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为.,,,)(000515xxexpx试求顾客等待服务的平均时间?解1~5XE因为，5.EX所以所以，顾客平均等待5分钟就可得到服务.例如：顾客平均等待多长时间?例8正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有()()dEXxpxx22()21d2xμσxexσtσμx令,tσμx.,,)()(xσeσxpσμx021222.μ22221dd22ttσμettet22()21()d2xμσEXxexσ所以221()d2tμσtetμ正是它的数学期望。中的可见),(,2N若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数，),,2,1(,}{kpxXPkk则Y的期望为1(())().kkkEfXfxp1.离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望2.连续型随机变量函数的数学期望(())()()d.EfXfxpxx若X是连续型的,它的分布密度为p(x)则3.二维随机变量函数的数学期望.),()],([,),(,,)1(iijjjipyxfYXfEyxfYX则数为二元函为离散型随机变量设.),(ijpYX的联合概率分布为其中[(,)](,)(,)dd.EfXYfxypxyxy则数为二元函为连续型随机变量设,),(,,)(yxfYX2(,)(,).pxyXY其中为的联合概率密度Xp1234.02.04.0解的分布律为XXY12310120.10.10.10.10.10.0030.].)[(,)(),(),(:2YXEXYEYEXE求例9设(X,Y)的分布律为.24.032.024.01)(XE得.03.014.003.01)(YE得Yp1013.04.03.0的分布律为Yp),(YX)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.02)(YX41091944.091.002.013.04])[(2YXE得.511110.200.110.10.10.100.30.1223EYX.1511012121031YX于是例10设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X（吨）服从区间【2000，4000】上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出，而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？分析：解设应预备吨商品，则销售商品获得的收益为a3,,3,.aXaYgXXaXXa20004000.a且于是XEYEgXgxfxdx而1,20004000,20000,XxXfx其他.所以4000200012000EYgxdx4000200013320002000aaaxaxdxdx21700040000001000aa故当预备3500吨商品时，国家收益最大为8250万元。24135008251082501000a1.设c是常数,则有().Ecc证明()()1.EXEccc2.设X是一个随机变量,c是常数,则有()().EcXcEX证明()kkkEcXcxp().cEXkkkcxp例如,5)(XE)(3)3(XEXE则.1553三、数学期望的性质).()(YEXE4.设X、Y是相互独立的随机变量,则有).()()(YEXEXYE3.设X、Y是两个随机变量,则有).()()(YEXEYXE证明11()()ijijijEXYxyp推广).()(niiiniiiXEaXaE1111iijjijxpyp).,)((,,.10,20互独立并设各旅客是否下车相下车是等可能的设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以有旅客下车就不停车如到达一个车站没个车站可以下车旅客有位旅客自机场开出一民航送客车载有XEX解,iX引入随机变量.10,,2,1,,1,,0iiiXi站有人下车在第站没有人下车在第.1021XXXX则例11*,109}0{20iXP则有,1091}1{20iXP.10,,2,1i.,2,1,1091)(20iXEi由此)()(1021XXXEXE得)()()(1021XEXEXE20109110).(784.8次四、小结1.数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质).()()(,4);()()(3);()(2;)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE独立3.常见离散型随机变量的数学期望分布分布律E(X)(0-1)分布X~B(1,p)kkppkXP1)1(}{k=0,1p二项分布X~B(n,p)knkknppCkXP)1(}{k=0,1,2,…,nnp泊松分布)(~PXP{X=k}=ekk!k=0,1,2,…几何分布P{X=k}=ppk1)1(k=1,2,…p14.常见连续型随机变量的数学期望分布名称概率密度)(XE均匀分布X~U[a,b]p(x)=其他,0],[,1baxab2ba正态分布),(~2NXp(x)=222)(21xe指数分布)(~EXp(x)=)0(,00,其他xex1作业习题四：6，11，12，13.预习：第二节方差复习：第四章根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?例1你知道自己该交多少保险费吗?备份题解设1年中死亡人数为X,~B(10000,0.002)X则100001000001000()(0.002)(10.002)kkkEXkk).(20人被保险人所得赔偿金的期望值应为).(40000200020元若设每人一年须交保险费为a元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知4000010000a),(4元a故每人1年应向保险公司交保险费4元.解)5()(2)52(33EXEXE,5)(23XE1213121121031)2()(33333XE又,31.31353125)(2)52(33XEXE故例2设求:).52(3XE31023121121121Xp..,0,30,9)(,,0,10,2)(,)()(2的均值试求电压其它其它其概率密度分别为相互独立的随机变量是两个与电阻设一电路中电流IRVrrrhiiigRAI解)()(IREVE)()(REIE[()d][()d]igiirhrr]d9[]d2[302102rrii).(23V例3:),(,规定以年计记使用寿命为付款的方式的销售采用先使用后某商店对某种家用电器X例4商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款XXX