随机变量的数学期望

概率论与数理统计第一节数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望数学期望的性质课堂练习在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数一、数学期望的概念1)(kkkpxXE即定义1设X是离散型随机变量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…若级数1kkkpx绝对收敛，则称级数1kkkpx)(XE的和为随机变量X的数学期望，记为,若级数发散，则称X的数学期望不存在。1kkkpx定义2设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如果积分绝对收敛，则称该积分的值为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即dxxxf)(dxxfxXE)()(如果积分发散，则称X的数学期望不存在。()xfxdx关于定义的几点说明(3)随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同.(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.xO随机变量X的算术平均值为,5.1221假设.98.198.0202.01)(XE它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值.当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等.12X21020.980.p为他们射击的分布律分别乙两个射手、甲,试问哪个射手技术较好?思考谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,21XX数分别为设甲、乙射手击中的环故甲射手的技术比较好.例4.1一批产品中有一、二、三等及废品4种，相应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级的产值分别为10元、5.8元、4元及0元，求这批产品的平均产值。解设一个产品的产值为X元，则X的可能取值分别为0，4，5.8，10；取这些值的相应比例分别为7%,13%,20%,60%；则它们可以构成概率分布，由数学期望的定义求得产品的平均产值为EX=4×0.13+5.8×0.2+10×0.6=7.68（元）。到站时刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.例4.2按规定,某车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：其分布率为以分计为解：设旅客的候车时间),(XX1030507090kp636261616361626113{70}()()()66PXPABPAPB上表中例如的数学期望为候车时间到站第二班车为事件到站第一班车为事件其中XBA.30:9,10:8分22.2736290363703615062306310)(XE例4.3其概率密度为服从同一指数分布它们的寿命装置个相互独立工作的电子有,)2,1(,2kXk0,00,01)(xxexfx若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.0001)()2,1(xxexFkXxk的分布函数为解0001)](1[1)(22minxxexFxFx0002)(2minxxexfNx的概率密度为于是22)()(02mindxexdxxxfNEx12min(,)NXX的分布函数为:),(,规定以年计记使用寿命为付款的方式的销售采用先使用后某商店对某种家用电器X例4.4商店的销售策略.3000,3;2500,32;2000,21;1500,1元一台付款元一台付款元一台付款元一台付款XXXX..0,0,0,e101)(,10的数学期望器收费试求该商店一台家用电概率密度为服从指数分布　　设寿命YxxxfXx解xXPxde101}1{10101.0e1,0952.0xXPxde101}21{10212.01.0ee,0861.0xXPxde101}32{1032,0779.0ee3.02.0xXPxde101}3{103.7408.0e3.0的分布律为因而一台收费YYkp30002500200015000952.07408.00861.00779.0,15.2732)(YE得.15.2732元费即平均一台家用电器收例4.5求常见分布的随机变量数学期望。二、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.(1)当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;绝对收敛，则有若1)(),,2,1(kkkpxgk(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若绝对收敛，则有dxxfxg)()(dxxfxgXgEYE)()()]([)(定理1设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()]([)(1该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(定理2设g(X,Y)是随机变量X、Y的函数，且E[g(X)]存在。(2)如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则(1)如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分布为pij,i,j=1,2,…，则11()[(,)](,)ijijjiEZEgXYgxypXp1234.02.04.0解的分布律为XXY12310120.10.10.10.10.10.0030.].)[(,)(),(),(:2YXEXYEYEXE求例4.6设(X,Y)的分布律为.03.014.003.01)(YE得1012121031Yp1013.04.03.0的分布律为Y.24.032.024.01)(XE得p),(YXXY)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.0由于p),(YX)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.02)(YX41091944.091.002.013.04])[(2YXE得.51.0313.001.0211.0211.011.002.01XYE于是.151?),,(,,0.0,0,0,e1)()(,.,.,均为已知产品应生产多少件期望最大问若要获得利润的数学度为服从指数分布其概率密件们预测销售量他再者元的损失而积压一件产品导致元利可获他们估计出售一件产品确定该产品的产量并试图产品市场某公司计划开发一种新θnmθyyθyfYnmθyY例4.7解,件设生产x:的函数是则获利xQ.,,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若yyQfQEYd)()(0yθmxyθyxnmyθyxθyxde1de1)]([0,e)()(nxθnmθnmθx,0e)()(ddnnmQExθx令).ln(nmnθx得,0e)()(dd22θxθnmQEx又.)(,)ln(,取得最大值时当因此QEnmnθx例8密度即具有概率上服从均匀分布在设风速,),0(aV其它001)(avavf.),,0(:2的数学期望求常数的函数是压力又设飞机机翼受到的正WkkVWVW2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa解：由上面的公式例9求数学期望E(eX)，若(1)X~P(3);(2)X~B(n,p);(3)X~N(1,4).其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量020)sin(),(,xyxAyxfYX例10).(),()2(,)1(XYEXEA求求系数211)sin(),(2/02/0AdxyxAdydxdyyxf，得）由于解：（1其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量020)sin(),(,xyxAyxfYX例10).(),()2(,)1(XYEXEA求求系数4)sin(2122/02/0dxdyyxxXE）（）解（12)sin(21),()(2/02/0dxdyyxxydxdyyxxyfXYE例11.,,22的数学期望求正态分布且都服从标准相互独立和设随机变量YXZYX解的联合概率密度为和相互独立和YXYXNYNX,),1,0(~),1,0(~2222eπ21eπ21),(yxyxf,eπ212)(22yx于是)()(22YXEZE.ddeπ2122222yxyxyx得令,sin,cosryrxddeπ21)(2π20022rrZErrrπrdeπ222022rrrrdee020222.2π例12..,0,10,2)(.,0,10,3)(,,,,,00:13~00:122时间的数学期望求先到达者需要等待的其他其他的概率密度分别为已知立相互独和且设间分别是甲、乙到达的时设会面在甲、乙两人相约于某地yyyfxxxfYXYXYXYX解的联合概率密度为和YX.,0,10,10,6),(2其他yxyxyxf因此所求数学期望为yxyxyxYXEdd6)(1010221dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121).(41小时三、数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y);2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(][:推广niiniiXEXE11)(][:推广（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立。和来证性质请同学自己证明，我们，性质4321于是有概率密度为其边缘）的概率密度设二维随机变量（证),(),().,(,yfxfyxfYXYX得证。性质3)()()