中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题

一．折叠类1.（13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边2AB，边1AD，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A是点A落在边DC上的对应点．（1）当矩形ABCD沿直线12yxb折叠时（如图1），求点A的坐标和b的值；（2）当矩形ABCD沿直线ykxb折叠时，①求点A的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在每种情形下的横线上）（——当如图1、2折叠时，求DA的取值范围？）k的取值范围是；k的取值范围是；k的取值范围是；[解]（1）如图答5，设直线12yxb与OD交于点E，与OB交于点F，连结AO，则OE=b，OF=2b，设点A的坐标为（a，1）因为90DOAAOF，90OFEAOF，所以DOAOFE，所以△DOA∽△OFE．所以DADOOEOF，即12abb，所以12a．所以点A的坐标为（12，1）．连结AE，则AEOEb．在Rt△DEA中，根据勾股定理有222AEADDE，即2221()(1)2bb，解得58b．（2）如图答6，设直线ykxb与OD交于点E，与OB交于点F，连结AO，则OE=b，bOFk，设点A的坐标为（a，1）．因为90DOAAOF，90OFEAOF．所以DOAOFE，所以△DOA∽△OFE．（图4）yx()ODCBA（图3）yx()ODCBA（图2）ABCDO()xy（图1）yx()ODCBA所以DADOOEOF，即1abbk，所以ak．所以A点的坐标为（k，1）．连结AE，在Rt△DEA中，DAk，1DEb，AEb．因为222AEADDE，所以222()(1)bkb．所以212kb．在图答6和图答7中求解参照给分．（3）图13﹣2中：21k；图13﹣3中：1≤k≤23；图13﹣4中：230k[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。2.（13广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把CBE△沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点AD，的坐标分别为(50)，和(30)，．（1）求点C的坐标；（2）求DE所在直线的解析式；（3）设过点C的抛物线223(0)yxbxcb与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得CMG△为等边三角形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）根据题意，得53CDCBOAOD，，90COD∠，2222534OCCDOD．点C的坐标是(04)，；（2）4ABOC，设AEx，则4DEBEx，532ADOAOD，在RtDEA△中，222DEADAE．yx()ODCBAEFA'G（图答6）yx()ODCBAEFA'（图答7）（图答5）yx()ODCBAEFA'115DＯEAxyCMB222(4)2xx．解之，得32x，即点E的坐标是352，．设DE所在直线的解析式为ykxb，30352kbkb，，解之，得3494kb，．DE所在直线的解析式为3944yx；（3）点(04)C，在抛物线223yxbxc上，4c．即抛物线为2234yxbx．假设在抛物线2234yxbx上存在点G，使得CMG△为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上．设点G的坐标为()mn，，33224bbm，22424(3)323428bbn，即点G的坐标为2332348bb，．设对称轴34bx与直线CB交于点F，与x轴交于点H．则点F的坐标为344b，．00bm，，点G在y轴的右侧，115DHＯGEAxyCFMB34bCFm，2232334488bbFHFG，．322bCMCGCF，在RtCGF△中，222CGCFFG，2222333248bbb．解之，得2(0)bb．．3342bm，2323582bn．点G的坐标为3522，．在抛物线2234(0)yxbxb上存在点G3522，，使得CMG△为等边三角形．[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。3（13湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，53OAOC，．（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；（2）若过点DE，的抛物线与x轴相交于点(50)F，，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使PFH△的内心在坐标轴．．．上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，OD，两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．BCAODFEyx3554..(14台州市)24．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠55CE，且3tan4EDA．（1）判断OCD△与ADE△是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．解：（1）OCD△与ADE△相似．理由如下：由折叠知，90CDEB°，1290∴°，139023.，又90CODDAE∵°，OCDADE∴△∽△．（2）3tan4AEEDAAD∵，∴设3AEt，则4ADt．由勾股定理得5DEt．358OCABAEEBAEDEttt∴．由（1）OCDADE△∽△，得OCCDADDE，845tCDtt∴，10CDt∴．在DCE△中，222CDDECE∵，222(10)(5)(55)tt∴，解得1t．83OCAE∴，，点C的坐标为(08)，，点E的坐标为(103)，，设直线CE的解析式为ykxb，1038kbb，∴，解得128kb，，Oxy（第24题）CBEDA（第24题图2）OxyCBEDPMGlNAF182yx∴，则点P的坐标为(160)，．（3）满足条件的直线l有2条：212yx，212yx．如图2：准确画出两条直线．5.(14宁德市)26.已知：矩形纸片ABCD中，26AB厘米，18.5BC厘米，点E在AD上，且6AE厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；步骤二，过点P作PTAB⊥，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“”、“”、“”号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时，PT与MN交于点11QQ，点的坐标是（，）；②当6PA厘米时，PT与MN交于点22QQ，点的坐标是（，）；③当12PA厘米时，在图3中画出MNPT，（不要求写画法），并求出MN与PT的交点3Q的坐标；（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点123QQQ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．解:（1）PQQE．（2）①(03)，；②(66)，．③画图，如图所示．解：方法一：设MN与EP交于点F．在RtAPE△中，2265PEAEAP∵，APBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy612181Q2Q图3ANPBCMDEQT图2CDEy612181Q2Q3QFGP1352PFPE∴．390QPFEPA∵°，90AEPEPA°，3QPFAEP∴．又390EAPQFP∵°，3QPFPEA∴△∽△．3QPPFPEEA∴．315PEPFQPEA·∴．3(1215)Q∴，．方法二：过点E作3EGQP，垂足为G，则四边形APGE是矩形．6GP∴，12EG．设3QGx，则336QEQPx．在3RtQEG△中，22233EQEGQG∵．222(6)12xx∴．9x∴．3125QP∴．3(1215)Q∴，．（3）这些点形成的图象是一段抛物线．函数关系式：213(026)12yxx≤≤．6.(14日照市)24.如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x．(Ⅰ)求证：AF=EC；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C.（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x︰b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？解:(Ⅰ)证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE．∴21a(x+AF)=21a(EC+b-AF)，∴2AF=EC+(b-x)．又∵EC＝b-x，∴2AF=2EC，即AF=EC；(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），∵EC∥E′B′，∴BEEC=BDDC.由EC＝b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得aaxxb2，∴x︰b=32；当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点，∴CE=21(AD+E′B′)，即b-x＝21（b＋x），∴x︰b=31．(2)如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF．证明：连接BF．∵FD∥BE,FD=BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥DE，FB=DE,又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴DE=EE′，∴FB∥EE′,FB=EE′，∴四边形BE′EF是平行四边形∴BE′∥EF．如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a.．∵x︰b=31，∴EM=31BC=31b．若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E.在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=BMME=ba32．在Rt△EME′中，tan∠ME′E=MEEM=ab31，∴ba32＝ab