量子力学-门福殿-近似方法习题解

第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第1页共23页第五章近似方法1．一维无限深势阱宽度为a，其势能函数为(0,)()0(0/4,3/4)(/43/4)xxaUxxaaxaKaxaK是个很小的常数，把此势阱中的粒子看成是受到微扰的一维无限深势阱中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。解：无微扰时的本征函数为(0)()sin(1,2,)2nanxxna对应的能量本征值为：222(0)22nnEa能量的一级修正为：3/43/4(1)'(0)*(0)220/4/422ˆ'dsindsinaaannnnnaanxKnxEHHxKxdxaaaa3/43/4/4/421cos223cos[sinsin]222222aaaanxKKKnxKKnnadxdxaaan12/2((1)(2nKnKKnn为偶数时）为奇数时)波函数的一级修正：'(1)(0)(0)(0)mnnmmnnmHEE现在来求：'mnH3/43/4'(0)*(0)0/4/422ˆ'dsinsindsinsinaaamnmnaamxnxKmxnxHHxKxdxaaaaaa3/43/4/4/421()()()()[coscos][coscos]2aaaaKmnxmnxKmnxmnxdxdxaaaaaa3/4/4()()[sinsin]|()()aaKamnxamnxamnamna3()()3()(){sinsin}{sinsin}()44()44KmnmnKmnmnmnmn2()()2()()cossincossin()24()24KmnmnKmnmnmnmn将此式代入上式可得波函数的一级修正第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第2页共23页2．一维无限深势阱（ax0）中的粒子受到微扰：)0()1(2)20(2)(/axaxaxaxxH的作用，求基态能量的一级修正。解：本题是一维非简并问题，无微扰时的能量本征函数(0)2sinnnxaa（1）能量本征值222(0)22nnEa（2）对基态1n，计算能量的一级修正量时，因微扰/H是分段连续的，因而要求两个积分式的和/*/*/22220000002222022222sin()sin(2)222{(1cos)(1cos)()}(3)aaaaaaaaaxxxxHHdxHdxdxdxaaaaaaxxxdxaxdxaaa利用定积分公式：pxppxpxpxxxcos1sincos2（4）代入（3）；得)221(2/11)1(11HE附带地指出：对于本题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K个激发态的一级修正：(1)22022222{(1cos)(1cos)()}11{[1(1)]()}2aaakkkkxkxExdxaxdxaaak3．一个粒子在二维无限深势阱其它地方）与()0(0),(ayxyxV中运动，设加上微扰xyH'),0(ayx求基态及第一激发态的能量修正。[解]二维无限深势阱的定解与一维相类似，因为x,y方向运动是独立的，能量的零级本征第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第3页共23页函数是两个一维无限深势阱波函数乘积：ykxkCyxkk21)0(sinsin),(21式中21,kk是指波数，阱壁的约束条件即周期性边界条件是：),3,2,1,(21nmankamk因而零级本征函数可用m,n表示：)2(sinsin),()0(aCaynaxmCyxmn（1）粒子总能量)0(mnE则可设2222)0(2amEm，2222)0(2anEn，)0()0()0(nmmnEEE或)(222222)0()0(nmaEEmn（2）可见波函数是高度简并的（L.Pauling.E.BWilson;IntroductiontoQuantumMechanics1951.P98~P100）,本题不讨论其简并度的公式。但基态（m=1，n=1能级最低的二维运动）是没有简并的。(基态能量一级修正量)；这时xydxdyaxaxaHxy222'11sinsin4ydyayxdxaxayx)2cos1()2cos1(002（3）利用定积分公式：pxppxpxpxdxxxcos1sincos2（4）或者：pxppxpxxpxdxxx2cos812sin44sin222（5）代入（3）aaayaayayyaxaaxaxxxaH022202222'112cos42sin222cos42sin242a（第一激发态一级能量修正量）：第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第4页共23页第一激发能态是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重简并态，这时的简并能级是：22222)0(2,12)12(aE(6)简并的能量本征函数有二个：ayaxasin2sin2)0(1ayaxa2sinsin2)0(2我们用简并态微扰法求能级，设有微扰后的零能级本征函数是)0(212)0(111)0(1cc)0(222)0(121)0(21cc代入有微扰的能量本征方程式：))(())('ˆˆ())(())('ˆˆ()0(222)0(121)0()0(1)0(222)0(1210)0(212)0(111)1()0(1)0(212)0(1110ccEEccHHccEEccHH约去相等项，利用的正交归一性，可得的线形方程组：)8(0)()7(0)(22)1('22'212112'1211)1('11cEHHCcHcEH由两式得到非平凡解的条件：0)1('22'21'12)1('11EHHHEH（9）现在分别计算所需的矩阵元；积分公式可以用（4）或者（5）xyxydxdyH)0(1)0(1'114sin2sin42222aydyayxdxaxayxxyxydxdyH)0(1)0(1'12（10）yxydyayayxdxaxaxa2sinsinsin2sin42ydyayayxdxaxanxaayax)3cos(cos)3cos(cos00222})3cos(cos{xdxaxaxa2022222}3cos93sin3cossin{aaxaaxaxaxaaxaxa第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第5页共23页4281256a（11）'11'22HH代入久期方程式（9）得到：422)1(1812564aaE422)1(2812564aaE（12）零级波函数的决定可以用)1(1E先代入方程式（7）或（8），伴同正交归一化条件1212211cc可求得11c，12c)0(212)0(111)0(1cc再用)1(2E代入（8），伴同可求得21c，22c。)0(222)0(121)0(2cc4．一维谐振子的哈密顿为22220212-KxdxdH假设它处在基态，若在加上一个弹性力作用H’=1/2bx2，试用微扰论计算H’对能量的一级修正，并与严格解比较。[解]用非简并微扰法，计算微扰矩阵元：（质量记作μ）已知)0(k，能级KnEk)21()0(dxxxbxHEkkkkk)()()()()(020112本题中K，42K（1）引用习题（1）所用的谐振子递推公式：})2)(1()12()1({21)0(2)0()0(22)0(2kkkkkkkkkx(2)代入（1），再利用)0(k正交归一性。第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第6页共23页)21(42)12(212)1(kKbbkEk（3）再计算能量二级修正量，为此要计算指标不同的矩阵元1knH，用（2）式：})2)(1()12()1({4})2)(1()12()1({42,,2,2)0(22)0(2)0(21nknknknnnxkknnnnnnbdxnnnnnbH再利用谐振子零能级本征值公式)21()0(nEn（但K）knnnknkkEEHE)0()0(2)2(||})2()1()2()1)(2({1642kkkkkkkkab4216)12(abk（4）因此用微扰法算得的，正确到二级修正值的能量是：)2(2)2()0(kkkkEEEE4228)21(2)21()21(abkabkk}821{)21(4222bbk}821{)21(22KbKbk（5）如果用严格的本征方程式求解，则本题中221'ˆbxH和0ˆH的势能2/2Kx为同类项可以合并，哈氏算符为2/)(2ˆ2222xbKdxdH（6）直接看出，它的严格的能级是：bKkkEk)21(')21('第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第7页共23页}821{)21(22KbKbk（7）与近似（5）比较，发现近似值的绝对误差是：22'16)21(KbkEEEkk在基态的情形，可令0k，2232KbE4．设非简谐振子的哈密顿量为：220222212ˆxdxdH（为常数）取220220212ˆxdxdhH，2xH，试用定态微扰论求其能量及能量本征函数。（解）一级能量本征值修正量：本题是一维、无简并的，按本章§9.1公式1kkkW，从§3.3知道一维谐振子波函数是：xHekxkxkk222!2，但（1）xxkxkxkkkdxxHexkdxxE233*122!2（2）但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而xHn2必定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：01kE一级波函数修正值：据§9.1公式[12b])0()0()0(//0nnknkkkEEH（3）)21()0(kEk/)3(第五章近似方法习题解中国石油大学门福殿教授著《量子力学》第8页共23页微扰矩阵元nknkWH/要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于)0(k的一个递推公式（90.p，问题2）：)212(1)0(1)0(1)0(nnnnnx（4）将此式遍乘x，再重复使用（4）)5(}4)2)(1()21(4)1({1)2221(21)221(2[1)212(1)0(2)0()0(22)0(2)0()0()0(22)0(1)0(1)0(2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxnxnx再将此式遍乘x，重复使用（4）式}4)2)(1()21(4)1({1)0(2)0()0(22)0(3nnnnnnxnxnnx=})3)(2)(1(1)1(33)2)(1({