八年级上册数学《实数》平方根和立方根-知识点整理

平方根和立方根一、知识要点1、平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，)0(2aax时，我们称x是a的平方根，记做：)0(aax。因此：①当0a时，它的平方根只有一个，也就是0本身；②当0a时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax。③当0a时，也即a为负数时，它不存在平方根。2、算术平方根（1）如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0aa。（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例1求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(；（3）49151.分析：根据算术平方根的定义，求一个数a的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a的正数.解：（1）因为6482，所以64的算术平方根是8，即864；（2）因为93)3(22，所以2)3(的算术平方根是3，即3)3(2；（3）因为496449151，又4964)78(2，所以49151的算术平方根是78，即7849151.注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161的错误.例2求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）259；（4）2)4(.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(表示2)4(的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192，所以±81=±9.（2）因为1642，所以－416.（3）因为253=259，所以259=53.（4）因为22)4(4，所以4)4(2.3、立方根（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：（1）我们知道4的3次方等于64，所以64的立方根就是4；（2）①立方根只有一个，27的立方根是3，而不是正负3，-3的立方等于-27，错；②根据立方根的定义可知对；③根号64开方等于8，立方根是2，正确；④先把3次根号里面的化简等于3次根号下64，那么应该等于4，错。三、经验之谈：实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，没关系，慢慢来，对于平方根和立方根的基础题型我们要会做，本节题目在后面变化多端，多做练习相信一定能理解的。