正定矩阵与性质

11正定矩阵一、基本概念二、正定矩阵的充分必要条件三、正定矩阵的性质22一、基本概念定义设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A称为正定矩阵.定义如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A称为半正(负)定矩阵.定义如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的.33二、正定矩阵的充分必要条件定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数.证明设实对称矩阵A的特征值都是正数.存在正交矩阵Q,使得QTAQ=,为对角矩阵,其对角线元素为,对于令1,,n1,,nTTTTT21()()0.niiifXAXQYAQYYQAQYYYy10,,0,n,XO1,YQX即,显然又故XQY,YO这就证明了条件的充分性.4设A是正定矩阵,而是其任意特征值,X是属于的特征向量,则有,AXX于是TTT0,0,0.XAXXXXX故必要性得证.推论若A是正定矩阵,则|A|0.证明TTT111,||||||||||||||||||||||||0.nQAQQAQQAQQAQQAQA455例判断下列矩阵是否为正定矩阵622250.207A解622622250250207207EA6622123(6)(5)(7)4(5)4(7)(6)(5)(7)848(6)(1235)8(6)(6)(1227)=(3)(6)(9).3,6,9.77例设A为n阶实对称矩阵,且满足证明A为正定矩阵.证明设为A的特征值,则为的特征值,故32243.AAAEO3224332243AAAEO322430,883232222222431242(1)(1)2(1)(1)(3)0,1.30,(1)12110.230无实根.A的特征值为1,n重故A是正定矩阵.99定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.证明充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可逆矩阵C,使得对于任意向量X≠O,由于C可逆,可从解出Y≠O,于是T,CACECYXTT210,niiXAXYYy故A是正定的.必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵,其对角线元素是A的特征值由于A是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故A合同于单位矩阵.,1,,,n10定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP.证明设A=PTP,P可逆.对于任意,由于P可逆,PX≠o,故Xo,Xo2TTT()0.XPPXPXPXPX设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.11例A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R,使得RTAR和RTBR同时为对角形.证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则TTTTT,RARQPAPQQEQERBR为对角形.12例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC,CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.TTT().ABABBABA1313为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进定义给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即(),ijnnAa||,1,,sijssAasn1112131112111232122232122313233(),,,,aaaaaAaAAaaaaaaaa141411111111,,.snsnsssnnnaaaaAAAaaaa的行列式.定理实对称矩阵正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.()ijnnAa证明必要性设A是正定矩阵,则对于非零向量1(,,),iiXxxTT()0.iTiiiiXXAXXOAO即Ai为正定矩阵,故其行列式0.iA1515充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式0.要证明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:21111110,0,0.axax设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩阵G,使得T11.nnGAGE令11,||||0.1GOCCGO则T1T11TTTTTT111TTT11.1nnnnnnnnnnnnAGOGOCACaOOGOGAGGAGGEGOaGaGa再令1616T122TT2112TT111TTTT11TT11TT2212,||10,1111.||||||0,nnnnnnnnnnnnnnEGCCOCCACCEOEGEGGGaOEGEGOaGGOEOEOOaGGOddACC1717令11/2331/2,||0.nEOCCdOd令123123TTTT3211231111/21/2,||||||||0,().nnnCCCCCCCCCATCCCACCCEOEOEOEOdOdOd则于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.1818例用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.622250.207A解123||60,62||304260,25622||25021020281620.207AAA故A正定.1919实对称矩阵A正定的充分必要条件是1.其特征值都是正数.2.A合同于3.可逆.4.A的顺序主子式全是正数.5.A的主子式全是正数..nET,APPP2020例判断下列二次型是否正定:2221121322339912481306071fxxxxxxxxx1299624613030,990,24371996333661302651111818(65112)187130,265AAA:=detA83217621222123222222121323222123222222121323222123123991307111112()48()60()22299130716()24()30()6994170,(,,)0.ffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222()0,1().2aabbababab22例t在什么范围取值时二次型222123123121323(,,)32224fxxxxxxxxxxxx是正定二次型?解1232221111132.||10,||20,132211100||13212222222(2)(2)tAAAttAttttttt2322212424434(34)0.(34)0,4/3,0.4/30.tttttttttttt24定义实对称矩阵A的第行和第列的元素组成的行列式称为主子式.例如1,,kii1,,kii123124513245,,,245232352A是2阶主子式.其中只有是2阶顺序主子式.12242525三、正定矩阵的性质1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆.2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵.证明A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定.3.正定矩阵的对角线元素都是正数.4.A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵.5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵.6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT.7.A为正定矩阵,A的所有主子式大于零.2626证明由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8.若A为n阶正定矩阵,则正定.(),nmrPmnTPAP证明对于任意m维列向量由于,XO(),nmrPmn矩阵P的列向量组线性无关,是P的列向量的非零线性组合,故而A正定,故PXTTT()()()0,XPAPXPXAPX故是正定矩阵.TPAP,PXO2727TT,AAAA的若干性质1.若A为n阶可逆矩阵,则为正定矩阵.TT,AAAA证明是实对称矩阵.对于任意A可逆,否则TTTTTT()(),AAAAAATAA,XO,AXO1,.AXOXAXO2TTT()()0.XAAXAXAXAX故正定.TAA2.若A为矩阵,且则为m阶正定矩阵,为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.nm(),rAmnTAATAA证明任意A的列向量组线性无关,,XO(),rAm,AXO2TTT()0.XAAXAXAXAX28(),TrAmn的列向量组线性相关，存在n维列向量使得,于是,Xo0,TTTXAAXXAoTAXo2,()0,nTTTTTTTXRXAAXAXAXAXAX故故不是正定矩阵。TAATA29293.若A为矩阵,且则和分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.nm()min(,),rArnmTAATAATTT,()0.mXRXAAXAXAX故半正定.列向量组线性相关,存在非零向量X,使得AX=O,TAA()min(,),rArnmTTT()0,XAAXAXAX故非正定.TAA