第四章-应变分析

第4章应变分析主要内容4.1应变的基本概念4.2几何方程4.3一点附近的应变分析4.4主应变、应变张量不变量4.5主剪应变，最大剪应变4.6应变速率4.7变形表示法4.8应力一应变曲线4.9变形体模型4.10变形协调方程4.11平面变形问题和轴对称问题gaugelength,2in.reducedsection,2.25in.diameter,0.5in.diameter,0.75in.radius3/8in.4.1应变的基本概念问题的提出：„平衡方程，6个未知量，三个方程，无法求解„工程应用中，关心成形零件一点处的应变否达到该材料的极限应变，能否成形零件。破坏点？变形量？„变形是否均匀，改变条件，使变形尽可能均匀„虚拟技术的应用（成形过程模拟）cavitycoalescence变形的基本概念：„基本假设：变形体是连续的，不存在微观结构，是宏观的，材料是均匀的。„位移：质点从一点移至另一点：刚性位移，相对位移„变形：只有质点间的位移不一致时，才产生变形：„刚性位移（旋转和平移）不产生变形„正变形：线尺寸伸长或缩短„剪变形：形状发生畸变（角度发生变化）„变形的大小与位移有关„一点的不同方向，变形数值不同„单元体均匀变形：直线—→直线，平行—→平行„小变形：大变形：2310~10−−εcrackpropagation(inshear)1210~10−−ε例：将矩形六面体在千锤下进行撤粗，其塑性变形前后物体的形状：图矩形件塑性变形前后形状„第一类变形：诸棱边的相对变化，其下标表示伸长的方向或与棱边平行的轴向。只有当各边都有伸长的变形（或都有缩短的变形）时，才可能得到体积变形。三个线分量——线变形：„第二类变形：两棱边之间（即两轴向之间）角度的变化称为角变形。角变形只引起单元体形状的改变而不引起体积的变化。。三个线分量——角变形：zyxεεε,,xzyzxyγγγ,,4.2几何方程1、小变形下的线应变、剪应变注：金属塑性加工是大变形，这时采用应变增量或应变速率，应变增量实际上是变形过程每一瞬间的小变形。线应变：表示变形体内线元长度的相对变化率。rryr+δrry+δryrxrx+δrx2310~10−−εOxyxxxyyyrrrrrrrδεδεδε===线应变：工程剪应变：121()2xyyxxyxyyxxyyxγγφγγαα====+剪应变：tantanyxyxyxxyxyxyxyyxxyrrrrδααδααααφ≅=≅=+=xyαyxα这时，在和中已包含了刚体转动。设刚体转动为则有：zω1/2()xyxyzyxyxzzyxxyγαωγαωωαα⎧=+⎪=−⎨⎪=−⎩αyxαxyγxyOxyABCPABCPPCBA=+ωzγxyαxyωzxyΦ−2πxyαyxα这时，在和中已包含了刚体转动。设刚体转动为则有：zω同理:zyyzyzααφ+=xzzxzxααφ+=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==+==+==)(21)(21)(21xzzxxzzxzyyzzyyzyxxyyxxyααγγααγγααγγ剪应变:刚体转动：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=)(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyxααωααωααω相对位移张量：xxyxzijyxyyzzxzyzeεαααεαααε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般情况下：yxxyαα≠zyyzαα≠xzzxαα≠∴ijjiee≠000xxyxzzyijyxyyzzxzxzyzyxeεγγωωγεγωωγγεωω⎡⎤⎡⎤−⎢⎥⎢⎥=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦变形张量刚体转动张量2、小应变几何方程'''(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)xxxxxxyyyyyyzzzzzzuuxdxydyzdzuuuuxyzdxdydzxyzuuxdxydyzdzuuuuxyzdxdydzxyzuuxdxydyzdzuuuuxyzdxdydzxyz⎧=+++⎪∂∂∂⎪=+++⎪∂∂∂⎪=+++⎪⎪∂∂∂⎨=+++⎪∂∂∂⎪⎪=+++⎪∂∂∂⎪=+++⎪∂∂∂⎩x0yzM(xi)uxuyuzM1)(idxxM+′iuδ'1Miiuuδ+'xu'yu'zu变形体内无限接近两点的位移分量(,,)(,,)(,,)xxyyzzuuxyzuuxyzuuxyz⎧=⎪=⎨⎪=⎩——M点位移到M1点——M’点位移到M’1点——如果MM’平行于某X坐标轴xxyyzzududxxududxxududxx∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪∂⎪=⎪∂⎩'''xxxxxxyyyyyyzzzzzzuuuduuudxdydzxyzuuuduuudxdydzxyzuuuduuudxdydzxyz∂∂∂⎧=−=++⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=−=++⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂=−=++⎪∂∂∂⎩x0yzM(xi)uxuyuzM1)(idxxM+′iuδ'1Miiuuδ+'xu'yu'zu变形体内无限接近两点的位移增量位移增量：xy平面上位移分量与应变分量的关系xuyα∂==∂xuyα∂==∂xuyα∂==∂xuyα∂==∂xuyα∂==∂xuyα∂==∂12jiijjiuuxxε⎡⎤∂∂=+⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦小变形几何方程:则切应变为:1()2yxxyyxuuyxγγ∂∂==+∂∂同样，单元体在可得单元体在yoz和zox坐标平面上投影的几何关系:1()21()21()2yxxxxyyxyyzyyzzyxzzzzxxzuuuxyxuuuyzyuuuzxzεγγεγγεγγ∂⎧∂∂===+⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪===+⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂===+⎪∂∂∂⎪⎩iijuε→应变分量与位移分量间的微分关系——几何方程:因为：因为:3、直角坐标系下的一点的应变状态xyxzxxyxzxijxyyzyxyyzyxzyzzxzyzzεγγεεεεγεγεεεγγεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由该点的应变张量：柱坐标、球坐标见书P.24。变形分量及其标号：4.3一点附近的应变分析直线ＭＮ连接物体内变形前无限靠近的两点，直线Ｍ1Ｎ1连接处于变形状态中的两点：故：因为：将上式进行整理后，得：222στ−=S斜面上剪应力为：xyzSlSmSnσ=++()2222xyzxyyzzxlmnlmmnnlσσστττ=+++++斜面上切应力为：一点附近的应变线应变:4.4主应变、应变张量不变量主应变:在变形体内一点附近，也存在三个互相垂直的主应变方向。在这些方向中，只有正应变而无剪应变。主应变张量:321εεε推导:与l、ｍ、ｎ无关，求的极值，也就是求的极值。求出对于l、ｍ、ｎ的导数并使它等于零。εεε−rrεεε−rεε设为主应变，为未定常数。2221lmn++=ε得的三次方程：特征方程由于：解方程组：所以：应变张量不变量：()22231232xyzxyyzzxxyzyzxzxyIσσστττστστστσσσ⎡⎤=+−++=⎣⎦1123()()xyzIσσσσσσ=++=++2222122331()()()xyyzzxxyyzzxIσσσσσστττσσσσσσ=−+++++=−++应变张量不变量：应力张量不变量：比较应变张量不变量和应力张量不变量：在主应变条件下应变张量不变量为：正八面体面上的线应变：在塑性变形时，假定体积是不变的，于是：033218=++==εεεεεm第一个为偏差应变张量：表示在给定点的元素仅改变其形状而不改变其体积第二个为球形应变张量：表示在给定点的元素各个方向的正应变相同，它仅改变其体积而不改变其形状如坐标轴为主轴，则：式中：应变张量分解偏差应变张量的不变量：'1'2222222222'''3''''()()()0('''')1[()()()6()]6xyzxmymzmxyyzzxxyyxzxxyyzzxxyyxzxxxyxzyxyyzzxzyzIIIσσσσσσσσσσσσσσστττσσσσσστττστττστττσ=++=−+−+−==−+++++==−+−+−+++=注意，偏差应力张量的不变量为：主应变图由于塑性变形时，工件受体积不变条件的限制，可能的变形图示仅所示的三种：(a）第一类应变图示；（b）第二类应变图示；c）第三类应变图示（１）a为压缩类应变图示，表明一向缩短两向伸长。轧制、自由锻等属于此类变形图（２）b为平面应变图示，表明一向缩短一向伸长。轧制宽板带时属于此类变形图示（３）c为伸长类应变图示，表明两向缩短一向伸长。挤压、拉拔等属于此类变形图示。1212232331311()21()21()2εεεεεεεεε=±−=±−=±−方向为与主应变方向成45±Dmax12,23,31max{}rεεε=O3OO1O2εε1ε2ε3γ221εε+232εε+213εε+应变莫尔圆4.5主剪应变，最大剪应变八面体应变：123222222222122331131()()()6()31()()()3xyyzzxxyyzzxεεεεεγεεεεεεγγγεεεεεε==±−+−+−+++=±−+−+−8m8（＋＋）=222123113mlmnIσσσσ++==注意，八面体应力为：8σ=8τ=222212312311()()39σσσσσσ++−++222'122331212()()()33Iσσσσσσ=−+−+−=2222221()()()6()3xyyzzxxyyzzxσσσσσστττ=−+−+−+++等效应变：（广义应变，应变强度）22222222212233122()()()6()32()()()3exyyzzxxyyzzxεγεεεεεεγγγεεεεεε==−+−+−+++=−+−+−8'8222212233122222231321[()()()]21[()()()6()]2exyyzzxxyyzzxIστσσσσσσσσσσσστττ===−+−+−=−+−+−+++注意，等效应力：（广义应力，应力强度）平面变形时：（例轧制板带时）3030312321222σσσσσσσσσε+==++−=−=m平面变形时，在没有主变形的方向上有主应力存在。4.6应变速率应变速率：是应变对时间的变化率，也称变形速度或应变速度。用于计算变形体内部的变形功率、用实验方法研究应力的分布、对金属的性能也有较大的影响。设物体变形时其质点的位移速度为：质点的位移分量为：位移速度约为：微小应变、微小位移应变速率和应变速率张量应变速率张量：式中：平均应变速率„通常，用最大主要变形方向的应变速率来表示各种变形过程的应变速率。HhRα−=例题：求平均应变速率解：锻压：高度为变形的平均高度式中：轧制：222yHhvvvvRHhhHhHhααε•−====+++2sin222yvvvvααα=≈=式中：拉伸：在拉伸试验中拉伸速度认为常数挤压：式中：Ｖ—变形区体积；Ｆf—制品截面积；Ｖf－金属流出速度。各种塑性加工设备上进行加工时的平均应变速率4.7变形表示法在塑性加工中，物体的弹性变形量与塑性变形相比小至可忽略，为计算方便，物体塑性变形前后体积不变。一、工程相对变形表示法工程算法：是指一轴向尺寸变化的绝对量与该轴向原来（或完工）尺寸的比值。它能表达每单位尺寸的变化率，可以明晰地看出该物体所承受的变形程度。1、用压下率（加工率）、宽展率、伸长率表示变形程度（相对应变）压下率（加工率）：宽展率：伸长率：一般而言，成形时坯料的三个轴上的尺寸都在变化，但常以尺寸变化量最大的方向为主来计算坯料的变形程度。2、用断面减缩率、延伸系数表示变形程度ψ对某些变形过程，也可用断面面积的改变率——断面减缩率:长度增长的倍数——延伸系数来表示变形程度：λ二、对数变形表示法上述表示法不足以反映实际变形情况，只表达了终了时刻的状态，而实际变形过程中长度L是经过无穷多个中间数值变成L0，如L１，L２，L３，…，Lｎ－１。其中相邻两次度相差均极微小，由L0至Ln的总变形程度，可近似地看作是各个阶段变形之和：真实应变：工程相对变形与对数变形的比较：（１）相对变形不能表示实际情况，而且变形程度愈大，误差也愈大。只有当变形程度很小时，两种者才近似相等。（２）对数变形为可加变形