运动学习题详解-南昌一中

静力学习题详解1.图1—23所示的上大下小的杯中，盛有密度均匀的混合液体．其密度为ρ经过一段时间后变成密度分别为1,2的两层均匀液体．如果总体积不变，试讨论杯底所受液体的压强有何变化?[解]:取以杯底为底面积的竖直水柱为研究对象,在均匀混合时,该体积内两种密度的液体各占一半.而分层后,由于密度较大的一半液体分布在杯子的底部,其体积为全部液体的一半,由于平均底面积较小,而使密度较大的液体的竖直高度大于密度较小的液体的竖直高度.而液体的总高度不变,所以杯子底部的压强变大了.2.底边为a，高度为b的匀质长方体物块置于斜面上．斜面和物块之间的静摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，当θ较小时，物块静止斜面上，如图1—24所示，当θ逐渐增大到某个临界角0时．物块将开始滑动或翻倒．试分别求出发生滑动和翻倒时的，并说明在什么条件下出现的是滑动情况，在什么条件下出现的是翻倒情况．[解]物体恰好沿斜面下滑的条件是:sincosmgmg即tan若物体不下滑而翻倒,此时重心的延长线恰好过物体的左下角如图解2-2所示.此时角满足tanabθab图2-24GNfθ解2-2θ若aub,当1tan时,先开始滑动.若aub,当1tanab时,先翻倒.3．一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ,若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值．[解]:当拉力F与斜面有成一定角度时时,拉力F最小.建立如图解2-3所示的直角坐标系.解得:若要使F最小,只要使cossina的值最大即可:222221cossin1(cossin)1111sintan11令则:cos=，2cossin1(sincoscossin)a=21sin()当2时,(其中11tan)cos+sin取最大值21此时F最小值:min2cossin1Fmgmin2cossin1Fmg4.一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮,两端分别挂上质量ml=4kg和m2=2kg的物体,如图1-25所示.FGfNxy解2-3:cossin:cossinxFmgfymgFNfNcossincossinFmgam1m2m图1-25在滑轮之间的绳上悬挂物体m,为使三个物体能保持平衡,求m的取值范围．[解]:此题只需求两个极值.m最大值:设线足够长,则m接近m1+m2,此时两细线间的夹角接近0.如图解2-4-1因此126mmmkg.m的最小值:当m最小时,因为21mm,此时m在靠近右侧的滑轮处,连接m和m1的两线的夹角近90°此时满足:2221()()mgmgmg由此解得:23mkg综合以上:236kgmkg5.质量为M=1kg的物体在图1-26所示的斜面上受水平横力F＝5N的作用时恰做匀速直线运动，则动摩擦因数μ为多少?[解]当物体在斜面运动时,物体所受的力并不在同一平面内.在垂直斜面的平面内,物体的受力如解2-5-1所示.沿斜面平面内受力如解2-5-2所示.由图可知。N=mgcos30°因为物体做匀速直线运动,所以在两个方向合力都为0，即有21sinFfmgf解2-4-1解2-4-1F图1-2630°GNf1解2-5-130°mgsinf1f2F解2-5-2f1、f2分别为物体所受摩擦力的两个分量。2212fff求得50f又由fN可求得236．如图1-27所示：一重为G的绳子．它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳的两端与水平线的夹角为θ，则绳的最低点处的张力为多大?[解]由于左右两侧对称，因此只分析其中一侧即可。如解2-6所示。三个力的交点必交于一点。可解得：cot2GF7．如图1-28所示，两个重力分别为G1和G2的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角[解]物体处于平衡状态时,所受的力对任意一点的合力矩为零.将AB两物体及连线看作一个整体，整体所受力对圆心O的合力矩也必为0,且N1和N2的延长线过圆心O,由此可以推知:GA和GB对圆心的力矩之和也为0.其大小关系相等.sinsinABGACGBC也就是ABGACGBC①AB图1-27G/2FT解2-6GAGB图1-28GＡGBN1N2ＯＡＢＣ解图2-7因为AOB,且AOB为等腰三角形.可以得出0902,设圆的半径为R,则2sin2ABR②由①②可得:2sin2BABGACRGG2sin2AABGBCRGG对OBC由余弦定理:22()()2()()cosOCOBBCOBBCOB=R22222224sin4sin22()AAABABRGRGOCRGGGG整理得:222cosABABABRGGGGOCGG③对OBC由正弦定理得:sinsinOBOCsinsinROC④将③代入④可以得出:22cos()2sin2cosABABABGGGGGG可以得出:22sin()2cos2cosABABABGGGGGG⑤由④⑤得:()tancot()2ABABGGGG()arctancot()2ABABGGGG(原答案有误)本题中用到的几个数学公式:22221cossin221coscos221sec1tancos8.如图1-29所示．均匀杆L1和A端用铰链固定在墙上，B端与L2相接触，AB水平，均质杆L2的C端也CL2图1-29L1AB用铰链固定于C点．与墙壁成30º角，两杆处于静止状态，L1重10N．L2重5N，求杆L1的B端受杆L2的作用力大小．[解]杆L1在B点受到杆L2的拉力N2和支持力N1,杆L2在B点受到杆L1的拉力2N和支持力1N,分别是N1,N2的反作用力.以A点为轴杆L1力矩平衡:11112LGNL由此可以得出1152GNN,以C点为轴L2力矩平衡:000221222sin30sin30cos302LGNLNL可以求得:22.53N22NN将N1,N2合成可以得出作用力2.576.6FN9.两杆A和Ｂ一端放在光滑水平地板上，另一端均靠在光滑竖直墙上．两杆夹角为90º时平衡，如图1-30所示，杆长分别为a，b．杆重分别为GA，和GB。，则两竖直墙间的距离d为多少?[解]杆A以O点为轴力矩平衡:1cossin2AaGNa①杆B以O点为轴力矩平衡:2cossin2BbGNb②因为11NN22NN且12NN将①/②可以得出:tantanABGG③又因为090④G1G2N2解图1-81NN12NN2N1CB30ºdABab图1-30ab解图1-９N1GA1N2NGBN2Od由③④可以得出2tanABGG⑤2211tancos得出cosAABGGG⑥由④⑥得出:cosBABGGG⑦由题意可知:coscosdab⑧将⑥⑦代入⑧得:ABABaGbGdGG10.重量为G的一根均匀硬棒AB,杆A端被绳吊起,在杆的另一端B作用一个水平的拉力F,把杆拉向右边,使整个系统平衡后,棒与绳跟竖直方向夹角为和,如图1-31所示,求证tan2tan[解]杆受三个力的作用,三力必相交于一点,如解图1-10所示:tanOBAOtanODAO棒是均匀的，重心在棒的中心，所以重力的延长与OB的交点D是OB的中点，即有：2OBOD所以有：tan2tan11．如图1-32所示,求图示均匀薄板的重心,大正方形边长为a,挖去的小正方形边长为4a,一个顶点在大正方形的几何中心上,两正方形各对应边相互平行.[解]在大正方形中挖去一个与正方形O1等大,关于正方形中心G对称的小正方形O2,则挖去小正方形后的大正方形,其中重FAB图1-31FAB图1-31TGOD图1-32O心在G点.其重量为正方形O2的14倍.若设正方形O2的质量为m,则挖了O2后的大正方形的质量为14m建立ox坐标轴,根据对称性,重心必在ox轴上.原点在O点.根据重心公式:112212nnnmrmrmrrmmm232145922814120mamaramm,即:重心在O2O1的连线上,离O1的距离为2120a.12.如图1-33所示,边长为a的均匀立方体,平衡地放在一个半径为r的圆柱面顶部,假设静摩擦系数很大,足以阻止立方体下滑.试证明物体的稳定平衡的条件2ar.[解]若物体不能下滑,由图可以看出,当正方体受到扰动时,其中心就由A点移到B点.只要B点的位置比A点高,正方体就处于稳定平衡状态.设:立方体与圆柱的接触点对应的半径转过了角.如解图1-12所示.则:初始A点的高度为2ar,在B点时的高度为:OMNRBScossincos2arr()cossin2arrar图ar解图PPRS解图1-11解图1-11O1O2Ox正方体处于平衡,须使()cossin22aarrr整理得:(sincos1)(1cos)2ar(tan)tan222ar当很小时tan22即只要2ar时正方体就处于稳定平衡状态13.在蜡烛的底部插一个铁钉后，竖立在水中．蜡烛露出水面1cm，已知蜡烛的密度为水密度的0.9倍．现将蜡烛点燃，蜡烛燃烧多长后方可熄灭?解：设水的密度为蜡烛的密度为，横截面积为s,铁钉的质量为m则：gsx=gs(x+1)+mg0gs(xxgs(x-x)+mg0gsx=gs(1+x)x=10(cm)14.用20块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块长度为L.横截面是边长为4Lh的正方形，要求此桥具有最大跨度(即桥孔底宽）,试画出桥的示意图,并计算跨度s与桥孔高度H的比值。[分析]要使此桥具有最大跨度，显然要按照如解图1-14所示的方式摆放，并使每一积木块上面的积木块尽可能向外伸出，我们给每一木块编上号（见图），先看看最上面两块，由于木块之间无摩擦，因此要使木块1号不倒下，1号的重心（在中点）应在2号木块右端面的xm1x解图1-13123解图１左侧，在临界情况下，可使它恰在第2号右端面的正上方，同理，在临界状态下，第1号和第2号木块的共同重心应在3号右端面正上方……[解]设1号右端面到2号右端面的距离为x1，12Lx,2号右端面到3号右端面到的距离为x2……，以第2号木块的左端为转轴力矩平衡:22()2LGLGGLx,可以得出24Lx,同理:第3号右与第4号右端的距离为x3,以第3号木块的左端为转轴力矩平衡323()2LGLGGLx求得36Lx第k号的右端面的距离为xk……，则第k号由力矩平衡知：(1)()2kLkGLGkGLx求得：解得2kLxk则桥拱长的一半为11121122nnkKksLLxxxkk由图1可知1(1)(1)4HnhnL所以11411nKsHnk。将n=10代入可得．1.258sH15.有一吊盘式杆秤，量程为10kg.现有一西瓜超过此秤量程，店员A找到另一相同的秤跎．把它与原秤砣结在一起进行称量，平衡时，双砣位于6.5kg刻度处．A将此读数乘以2得13kg，作为西瓜的质量.为了检验,他取另一西瓜．正常称量为8kg，用砣称量读数为3kg．乘以2后得6kg，这证明A的办法不可靠，试问，A所称