第一章导数及其应用(复习课)

知识结构Ⅰ、导数的概念Ⅱ、几种常见函数的导数公式aaaeeexxxxxxxxQnnxxccxxxxaannlnlog1log1lnsincoscossin01）（，）（）（，）（），（）（）（）（为常数）（Ⅲ、求导法则Ⅳ、复合函数求导Ⅴ、导数的几何意义的切线的斜率．处）（，）在点（就是曲线），（处的导数）在点（函数0000xfxPxfyxfxxfyⅥ、导数的应用1．判断函数的单调性2．求函数的极值3．求函数的最值例2：用公式法求下列导数：（1）y=（3）y=ln(x+sinx)（2）y=（4）y=2)13(2xxxexcos2)1(log23x解(1)y′=(2)(3)(4)2)13(622)13(3)13(22)13()2(212221xxxxxxxxxxxxxxxysincos1)sin(sin1xexeyxxsincos2221log2)1(log1123232xexxexy例3、已知f(x)=2x2+3xf(1),f(0)=解:由已知得:f(x)=4x+3f(1),∴f(1)=4+3f(1),∴f(1)=-2∴f(0)=4×0+3f(1)=3×(-2)=-6例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x变式1：求过点A的切线方程？例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2），∴切线方程为y－(x03－x0+2)=(3x02－1)(x－x0)21又∵切线过点A(1,2)∴2－(x03－x0+2)=(3x02－1)(1－x0)化简得(x0－1)2(2x0+1)=0，2114①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x解得x0=1或x0=－k=f/(x0)=3x02－1，②当x0=－时，所求的切线方程为：y－2=－(x－1),即x+4y－9=01)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf返回xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)练习：设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfx题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(1)因为,所以xxxf3)(3.0)1(333)(22xxxf因此,函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)因为,所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf1x32)(2xxxf当,即时,函数单调递减.0)(xf1x32)(2xxxf;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf解:(3)因为,所以),0(,sin)(xxxxf.01cos)(xxf因此,函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x(4)因为,所以12432)(23xxxxf当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:题型三分类讨论单调性1.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。①求定义域②求'()fx③令'()0()'()0()fxfxfxfx解不等式的递增区间解不等式的递减区间④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？总结：1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域2单调区间不能用“∪”联系，而只能用“，”隔开注意2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)0，在a右侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)0，在b右侧附近f’(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg返回例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间。略解：单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞）单间区间为（-1/3，1）1132'(1)1,(1)0fabf练习巩固：设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4（1）、求a、b、c的值（2）、求函数的单调区间答案（1）a=-3,b=0,c=0（2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)•解:由已知,函数f(x)过原点(0,0),∴f(0)=c=0∵f(x)=3x2+2ax+b且函数f(x)与y=0在原点相切，∴f(0)=b=0即f(x)=x3+ax2由f(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a432af49427833aa由已知即解得a=-32120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.322()f'xax例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32()0,即在（0，1]上恒成立f'xa-xx31max而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1gxxgxg1〉a-2120101已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围fxaxx,,fxxx,a.增例2：322当a1时，()f'xx1对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数f'xa-fx所以a的范围是[-1，+）本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx小结：1.利用导数的几何意义求切线的斜率；2.求函数的单调区间，只要解不等式f(x)＞0或f(x)＜0即可；3.求函数f(x)的极值，首先求f`(x),在求f`(x)=0的根，然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；4.函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b）内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的为最小值。•导数的应用主要表现在：1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义、物理是什么？3、微积分基本定理是什么？求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似求和:任取xi[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxxD1()niiSfxxD(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb定积分的定义11()()nniiiibafxfnxxD小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(xi)Dxi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnxba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnxba即Oabxy)(xfybaIdxxf)(iinixfD)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限Sbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为sbav(t)dt。定积分的定义：Oab()vvttv1()lim()ninibafxdxfnxba即变力作功如果物体沿与变力F(x)相同的方向移动，那么从位置x=a到x=b变力所做的功badxxFW)(例1、求曲线与直线x轴所围成的图形面积。]32,0[sinxxy　,32,0xx略解：根据定积分的几何意义所求面积为2332320oxxdxS|cossin＝（一）利用定积分求平面图形的面积平面图形的面积badxxfA)(平面图形的面积badxxfxfA)]()([12xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab)(1xfy)(2xfy平面图形的面积2121()()[()()]bbaabaAfxdxfxdxfxfxdxab平面图形的面积()baAfxdx)(xfyab平面图形的面积21[()()]baAfxfxdx特别注意图形面积与定积分不一定相等,］［０　2,sinxxy的图像与x轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.如函数)(1xfy)(2xfyab1、求直线与抛物线所围成的图形面积。32xy2xy332|)33)323132231xxxdxxxS（－＋（＝32xy略解：如图直线与抛物线2xy的交点坐标为（－1，1）和（3，9），则2、求由抛物线342xxy及其在点M（0，－3）和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。xyoy=－x2+4x-3略解：42xy/则在M、N点处的切线方程分别为、34xy62xy3220S4