(文科)立体几何题型与方法教师

转化转化空间几何体题型与方法归纳(文科版)考点一证明空间线面平行与垂直1、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（23，2,0）（1）∵AC＝（－3,0，0），1BC＝（0，－4,0），∴AC•1BC＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－23，0,2），1AC＝（－3,0，4），∴121ACDE，∴DE∥AC1.点评：2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．2、如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；（1）M是PC的中点，取PD的中点E，则MECD21，又ABCD21ABCA1B1C1Exyz四边形ABME为平行四边形BM∥EA，PADBM平面PADEA平面BM∥PAD平面（4分）（2）由（1）知ABME为平行四边形ABCDPA底面ABPA，又ADABPADAB平面同理PADCD平面，PAD平面AEAEABABME为矩形CD∥ME，PDCD，又AEPDPDMEABME平面PDPBDPD平面ABMEPBD平面平面作EBMF故PBD平面MFMF交AE于N，在矩形ABME内，1MEAB，2AE32MF，22NEN为AE的中点当点N为AE的中点时，BDMNP平面3.【2012高考山东文19】(本小题满分12分)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，,CBCDECBD.(Ⅰ)求证：BEDE；(Ⅱ)若∠120BCD，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【答案】(I)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD，又已知CEBD，所以BD平面OCE.所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，所以BEDE.(II)取AB中点N，连接,MNDN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.4、（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱111ABCABC中,1111ABAC,DE，分别是棱1BCCC，上的点(点D不同于点C),且ADDEF，为11BC的中点.求证:(1)平面ADE平面11BCCB;(2)直线1//AF平面ADE.【答案】证明:(1)∵111ABCABC是直三棱柱,∴1CC平面ABC.又∵AD平面ABC,∴1CCAD.又∵1ADDECCDE，，平面111BCCBCCDEE，,∴AD平面11BCCB.又∵AD平面ADE,∴平面ADE平面11BCCB.(2)∵1111ABAC,F为11BC的中点,∴111AFBC.又∵1CC平面111ABC,且1AF平面111ABC,∴11CCAF.又∵111CCBC，平面11BCCB,1111CCBCC,∴1AF平面111ABC.由(1)知,AD平面11BCCB,∴1AF∥AD.又∵AD平面1,ADEAF平面ADE,∴直线1//AF平面ADE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系.【解析】(1)要证平面ADE平面11BCCB,只要证平面ADE上的AD平面11BCCB即可.它可由已知111ABCABC是直三棱柱和ADDE证得.(2)要证直线1//AF平面ADE,只要证1AF∥平面ADE上的AD即可.考点二求空间图形中距离与体积5、（安徽理17）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，1,2,OAOD△OAB，,△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。（Ⅰ）证明直线BC∥EF；（II）求棱锥F—OBED的体积。（I）（综合法）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE21，OG=OD=2，同理，设G是线段DA与线段FC延长线的交点，有.2ODGO又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合.在△GED和△GFD中，由OB∥DE21和OC∥DF21，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.（向量法）过点F作ADFQ，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，QE为x轴正向，QD为y轴正向，QF为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(CBFE则有).3,0,3(),23,0,23(EFBC====所以,2BCEF即得BC∥EF.（II）解：由OB=1，OE=2，23,60EOBSEOB知，而△OED是边长为2的正三角形，故.3OEDS所以.233OEDEOBOBEDSSS过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=3，所以.2331OBEDOBEDFSFQV6.（四川19）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中．∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．（I）求证：CD=C1D：（Ⅱ）求点C到平面B1DP的距离．．解析：（1）连接1BA交1BA于O,1//BP1面BDA,111,,BPABPABPDOD1面面面BA1//BPOD,又O为1BA的中点，D为AP中点，1C1为AP,1ACDPCD1CDCD,D为1CC的中点。（2）因为11CBPDBPCDVV，所以1111133BPDPCDhSABS,111AB11111244PCDPCCPCDSSS,在1BDP中，11119553525544,5,.cos,sin32255252BDBPPDDBPDBP，1135315,22543BPDSh7.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】【解析】（Ⅰ）因为,,.PAABCDBDABCDPABD平面平面所以又,,ACBDPAAC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而PC平面PAC，所以BDPC.（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC，知BDPO.在RtPOD中，由DPO30，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以,AODBOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD面积1(42)39.2S在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2ODAD所以22242,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13VSPA算得体积.8.【2012高考广东文18】本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，//ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是CD上的点且12DFAB，PH为△PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；（2）若1PH，2AD，1FC，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.【解析】（1）证明：因为AB平面PAD，所以PHAB。因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PHAD。因为ABADA，所以PH平面ABCD。（2）连结BH，取BH中点G，连结EG。因为E是PB的中点，所以//EGPH。因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD。则1122EGPH，111332EBCFBCFVSEGFCADEG212。（3）证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以1//2MEAB。因为1//2DFAB，所以//MEDF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以//EFMD。因为PDAD，所以MDPA。因为AB平面PAD，所以MDAB。因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB。9.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，CAB=2（Ⅰ）证明11BACB;（Ⅱ）已知AB=2，BC=5，求三棱锥11CAAB的体积【解析】（Ⅰ）如图，连结1AB,111ABCABC是直三棱柱，CAB=2，[来源:，AC平面11ABBA,故1ACBA．又1ABAA，四边形11ABBA是正方形，11BAAB，又1CAABA，1BA平面1CAB，故11CBBA．（Ⅱ）12ABAA，5BC，111ACAC．由（Ⅰ）知，11AC平面1ABA，1113CABAVS△1ABA·11AC=122133．10.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，2,ABACAA′=1，点M，N分别为/AB和//BC的中点。(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;(Ⅱ)求三棱锥/AMNC的体积。（椎体体积公式V=13Sh,其中S为地面面积，h为高）【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（1）（法一）连结','ABAC，由已知=90,=BACABAC三棱柱-'''ABCABC为直三棱柱，所以M为'AB中点.又因为N为''BC中点所以//'MNAC，又MN平面''AACC'AC平面''AACC，因此//''MNAACC平面……6分（法二）取AB的中点为P，连结MP，NP，∵,MN分别为/AB和//BC的中点，∴MP∥AA,NP∥AC,∴MP∥面AACC,NP∥面AACC,∵MPNPP,∴面