关于板壳单元的基本理论

1.1关于板壳单元板壳结构在工程上应用十分广泛。例如，航天航空工程中的飞机、火箭、宇宙飞船，石油化工业的罐体容器，工程机械起重设备的箱体、臂架结构等。在设计分析中采用板壳单元进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。1.1.1板壳结构板壳结构是指板的厚度t与其它两个方向的尺寸相比小得多。与平面问题的平板不同，板壳结构的板可以是平板也可以是单曲面或双曲面板，同时可以承受任意方向上的载荷，也就是既有作用在平面内的载荷，又作用有垂直于平面的载荷。一般板壳结构处于三维应力状态。结构是否为板壳问题，需要确定厚度与其它方位尺寸的比值，若1/80≤t≤1/10可以归结为板（薄壳）问题，若介于1/10~1/5之间属于厚壳问题，若大于1/5则不属于板壳结构问题。板壳单元的力学模型取为结构单元的中性面，即以各中性面来代表为不同厚度的板或壳单元的组合体，以此来模拟结构体。在工程有限单元法软件设计中，常常将板壳结构划分成膜、板以及壳单元。其物理特性如下。膜单元，属于平面应力单元。仅仅能够承受作用于平面内的载荷，不能够承受其它载荷。假设z方向上的位移w=0，每一结点仅存在沿x轴和y轴的位移Tvu。膜单元的应力状态如图1-7c所示。板弯曲单元，仅仅承受弯曲载荷，其受力状态见图1-20a，图中阴影部分为中性面。此类单元只有沿坐标Z方向的位移Tyxw，见图1-20b。壳单元，即可以承受作用于平面内的载荷，又可以承受弯曲载荷，可以看成是膜单元和板弯曲单元的组合，每一结点的位移为Tyxwvu，其力学特征见图1-21。其中：xM、yM为弯曲力矩，xyM、yxM为扭曲力矩，xQ、yQ为侧向力，xN、yN为轴向力，xyN为剪力。值得注意的是在分析壳单元的计算结果时，其计算结果对于该单元的顶面，中性面或底面是不同的。如图1-21所示，tx,、mx,、bx,分别为板壳结构的顶面、中性面及底面应力。(a)板弯曲单元受力状态简图(b)板弯曲单元位移状态简图图1-20四结点板弯曲单元示意图图1-21壳单元单元示意图图1-22壳单元单元定义示意图1.1.2板壳结构假设传统小变形的板壳理论有如下的假设：⑴板壳厚度t远远小于其他尺寸，例如txR、yR，xR、yR为壳中性面的曲率半径，如图1-22所示。⑵垂直于中性面的法线在变形后，仍为直线且垂直于中性面。⑶应力、应变足够小，可忽略二次或高次微分项，仅考虑一次微分项。⑷法向方向上的正向应力与其他方向正向应力相比很小可不计，即0z。1.1.3板壳结构有限单元法简介1.1.3.1壳单元的位移函数如上所诉，壳单元能够承受作用于其平面内的力与弯曲力，表征其具有膜单元与板弯曲单元组合的物理、力学特性，受外力作用后产生x轴、y轴及z轴方向的位移u、v与w，以及对x轴与y轴的旋转角x与y，即每个结点有5个位移分量。以三节点三角形壳单元为例，见图1-23。对于结点i有ei=Tyixiiiiwvu，对于结点j有ej=Tyjxjjjjwvu，对于结点m有ei=Tymxmmmmwvu图1-23三角形壳单元三个结点i，j，m共有15个自由度的。三节点三角形壳单元的位移函数如下。ybxbbvyaxaau321321(1－88)28275422927643393822726254321322322xcyxycxcyccxwycxyxcycxccywycxcxyyxcycxcxycycxccwyx(1－89)(1－88)式为膜单元的位移函数，(1－89)式为板弯曲单元的位移函数。1.1.3.2壳单元的应变关系式三角形壳单元的应变关系式为：wyxyxzyxwywxwzxvyuyvxuxyyx222222222222(1－90)由形函数得知，该三角形单元的位移为：ymxmmmmyjxjjjjyixiiiewvuwvuwvuNNNNNNNNw15654321(1－91)将上式代入（1-90）式中，并且整理得：ymxmmmmyjxjjjjyixiiiiwvuwvuwvuNNNNNNNyxyxz15654321222222(1－92)简化成：Bz其中：15654321222222NNNNNNNyxyxB三角形壳单元的结点位移Tymxmmmmyjxjjjjyixiiiiewvuwvuwvu1.1.3.3壳单元的刚度矩阵薄板材料的应变能为：VVTTTVTdVzBDBdVDdVU2212121（1-93）由最小势能原理得知：V=U–W式中V为弹性体位能，U为弹性体的应变能，W为外载荷所作的功。根据最小位能原理，即0V，可得知：0WU(1－94)其中：VTdVzBDBU2(1－95)FW简化（1-95）式得：KU其中：VTdVzBDBK2对于（1-94）式可写成：0FK即：KF（1-96）壳单元的刚度矩阵应该为膜单元和板弯曲单元的集合。详细推导过程读者可以参看有关资料。