全等几何模型讲解

1/13常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00000180909060602/13例题讲解：1.如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=32，PC=4，求△ABC的边长。CABP2.如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD=.4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。ABCO3/13（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形4/13例题讲解：1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF‚②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。2.（13北京中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（600），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。5/13例题：1.在等腰直角△ABCD的斜边上取两点M,N,使得45∠MCN,记AM=m,MN=x,BN=n，求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。mxnBCAMN2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求PCQ的度数。DACBQP3.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．4.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．CHFEDBA6/13（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．6.(14房山2模).边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.7/137.(2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．8．已知在ABC△中，90ACB，26CBCA，ABCD于D，点E在直线CD上，CDDE21，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：___________，___________；（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且2AFFD时，求证：45CNE；（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得45CNE．若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．8/13M'ABCDEFMNDCBA9.(2014平谷一模24)（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足222DNBMMN，请证明这个等量关系；（2）在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是②如图3，当∠BAC=，(0°90°)，∠DAE=21时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___________．【参考：1cossin22】注意：2222AMBMDMABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN(1)在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABM=∠ADN=45°．把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到MAD．连结MN．则，，AMAMBMMD',45ABMMAD，BAMMDA．∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°,∠DAM′+∠DAF=45°,45'MANANM．∴NAM'≌AMN．∴NM'=MN．在NDM'中，90''ADMADNDNM,222''DMDNNM∴222BMDNMN（2）①222ECECBDBDDE；②222cos2ECECBDBDDENMFEDCBA图1备用图9/133.空翻模型例题：1.如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMADGNEBMAD【解析】猜测DMMN.过点M作MGBD∥交AD于点G，AGAM，∴GDMB又∵120ADMDMA∠，120DMANMB∠∠∴ADMNMB∠∠，而120DGMMBN∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．2.如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMANCDEBMA【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，∴DGMB，∴45AGM∠∴135DGMMBN∠∠，∴ADMNMB∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．3.【探究发现】如图１，ABC是等边三角形，60AEF，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F．当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；10/13【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点Ｅ是线段BC延长线上的任意一点”；“点Ｅ是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出:ABCAEFSS的值．4.弦图模型外弦图内弦图总统图例题：1.两个全等的30°，60°三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接BD,取BD的中点M，连接ME，MC．（1）求证：△EDM≌△CAM；（2）求证：△EMC为等腰直角三角形．2.如图△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC,CABCABFCABE11/13(1)D为AC中点，AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF(2)若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．3.(14朝阳二模)已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．二、对称全等模型下图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。GFECBDAGFECBDAP3P2P1ACBPPECABD图2FCABD图112/13EDABCFEDBAC例题：1.如图1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）2.问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为_______；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；13/13可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.ABC