导数及其应用数学专题复习系列导学案

-1-导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2.熟记八个基本导数公式(c,mx(m为有理数)，xxaexxaxxlog,ln,,,cos,sin的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y＝)(xf的导数)(xf，就是当Δx0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比xy的，即)(xf＝＝．2．导函数：函数y＝)(xf在区间(a,b)内的导数都存在，就说)(xf在区间(a,b)内，其导数也是(a,b)内的函数，叫做)(xf的，记作)(xf或xy，函数)(xf的导函数)(xf在0xx时的函数值，就是)(xf在0x处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝)(xf在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM处的.基础过关知识网络考纲导读高考导航-2-4．求导数的方法(1)八个基本求导公式)(C＝；)(nx＝；(n∈Q))(sinx＝，)(cosx＝)(xe＝，)(xa＝)(lnx＝，)(logxa＝(2)导数的四则运算)(vu＝])([xCf＝)(uv＝，)(vu＝)0(v(3)复合函数的导数设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导，且)(xf＝，即xuxuyy.例1．求函数y=12x在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=11)(11)(11)(202020202020xxxxxxxxx.11)(2,11)()(220200202020xxxxxxyxxxxxx变式训练1.求y=x在x=x0处的导数解)())((limlimlim00000000000xxxxxxxxxxxxxxxyxxx.211lim0000xxxxx例2.求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy解(1)∵,sinsin23232521xxxxxxxxy典型例题-3-∴y′.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y=)3)(2)(1()3()2)(1(xxxxxx=)2)(1()2(）1（xxxx（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2（3）∵y=,sin212cos2sinxxx∴.cos21)(sin21sin21xxxy（4）xxxxxxxy12)1)(1(111111，∴.)1(2)1()1(21222xxxxy变式训练2：求y=tanx的导数.解y′.cos1cossincoscos)(cossincos)(sincossin22222xxxxxxxxxxx例3.已知曲线y=.34313x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313x与过点P（2，4）的切线相切于点3431,300xxA，则切线的斜率k=y|0xx=20x.∴切线方程为),(343102030xxxxy即.34323020xxxy∵点P（2，4）在切线上，∴4=,343223020xx即,044,0432020302030xxxxx∴,0)1)(1(4)1(00020xxxx∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.-4-答案2或41例4.设函数bxaxxf1)((a,b∈Z)，曲线)(xfy在点))2(,2(f处的切线方程为y=3.（1）求)(xf的解析式；（2）证明：曲线)(xfy上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(bxaxf，于是,0)2(1,32122baba解得,1,1ba或.38,49ba因为a,bZ，故.11)(xxxf（2）证明在曲线上任取一点11,000xxx．由200)1(11)(xxf知，过此点的切线方程为)()1(11110200020xxxxxxy．令x=1，得1100xxy，切线与直线x=1交点为11,100xx．令y=x，得120xy，切线与直线y=x的交点为)12,12(00xx．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000xxxxx．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式解∵f（x）的图象过点P（0，1），又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-∴b=0，∴f（x）=ax4+cx2∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-∵)1(f=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，由③④得a=25，c=29函数y=f（x）的解析式为.12925)(24xxxf-5-1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时导数的概念及性质1．函数的单调性⑴函数y＝)(xf在某个区间内可导，若)(xf＞0，则)(xf为；若)(xf＜0，则)(xf为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数)(xf的；②求)(xf，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间；④确定)(xf在各小开区间内的，根据)(xf的符号判定函数)(xf在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数)(xf在点0x附近有定义，且对0x附近的所有点都有（或），则称)(0xf为函数的一个极大（小）值．称0x为极大（小）值点.⑵求可导函数极值的步骤：①求导数)(xf；②求方程)(xf＝0的；③检验)(xf在方程)(xf＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝)(xf在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值：⑴设y＝)(xf是定义在区间[a,b]上的函数，y＝)(xf在(a,b)内有导数，则函数y＝)(xf在[a,b]上有最大值与最小值；但在开区间内有最大值与最小值．小结归纳基础过关-6-(2)求最值可分两步进行：①求y＝)(xf在(a,b)内的值；②将y＝)(xf的各值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝)(xf在[a,b]上单调递增，则)(af为函数的，)(bf为函数的；若函数y＝)(xf在[a,b]上单调递减，则)(af为函数的，)(bf为函数的.例1.已知f(x)=ex-ax-（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：)(xf=ex-（1）若a≤0，)(xf=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增若a0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为（2）∵f（x）在R内单调递增，∴)(xf≥0在R上恒成立∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立∴a≤（ex）min，又∵ex0，（3）方法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上为增函数∴x=0时，ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0(f=0,即e0-a=0,∴a=1.变式训练1.已知函数f(x)=x3-ax-（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方（1）解由已知)(xf=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(xf=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(xf=3x2故f(x)=x3-1在R上是增函数，则（2）解由)(xf=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立典型例题-7-∵-1x1,∴3x23,∴只需a≥3.当a=3时，)(xf=3(x2-在x∈(-1,1)上，)(xf0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减（3）证明∵f(-1)=a-2a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得)(xf=3x2当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0当x=32时，y=f(x)有极值，则32f=0,可得4a+3b+4=0由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴)(xf=3x2+4x-令)(xf=0,得x=-2,x=32当x变化时，