函数微分

第三节函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性七、高阶微分八、微分在近似计算中的应用九、小结、作业一、问题的提出——近似计算问题实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0再如,.,03yxxxy求函数的改变量时处的改变量为在点设函数3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x.320xxy),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？二、微分的定义三、可微的条件.))(A()()(000xfxxfxxf且可导在可微在定理证(1)必要性,)(0可微在xxf,)(Axoxy,)(Axxoxyxyx0lim则,A.))(A()(00xfxxf且可导在即(2)充分性0().,yfxxx从而0(),yfxx,)(0可导在xxf,)(lim00存在即xfxyx.)(0可微在xxf证毕)(A;0，且可微可导xfxxfxfxx)(|)(d00即d)(0，xxf|d)(dd|)(d)(000，xxxxxxfxxfxfdd'，即xyy”。导数又叫做“微商例1解;1)(3的微分）（：求用导数与微分的关系xyxxy)(d)1(3;32xx02.02202.02||3|d)3(xxxxxxy.24.0;223时的微分当）（xxy.02.0,233时的微分当）（xxxyxxyxx232|)(|d)2(xxx22|)3(;12x四、微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyoxxx0P.MN)(MP,M,代替曲线段近似可切线段的附近在点很小时当x如图所示五、微分的求法xxfyd)(d由微分求法（1）:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本函数的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d22222.函数和、差、积、商的微分法则.)0)(()(|d)(|d)(|)(d;|d)(/d)(|)(d;|Cd|)C(d;|d|d|)(d)()(0200000000000000000xvxvvxuuxvvuvxuuxvvuuuvuvuxxvxuxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx若可微，则有在、若微分求法（2）：转化为基本函数的微分。例2解.d,)eln(2yxyx求设,ee2122xxxxy.dee21d22xxxyxx例3解.d,cose31yxyx求设)(cosde)e(dcosd3131xxyxx乘法.dsincosd,e3)e(3131xxxxxxxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131.d)sincos3(e31xxxx;d)(d,)1(xxfyx则自变量是若则的可微函数为另一变量中间变量是若),(,)2(txtx,)(可微设函数xfy,d)()(dttxfy,dd)(xtt又.d)(dxxfy结论：的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx微分形式的不变性xxfyd)(d六、微分形式的不变性微分求法（3）：利用微分的形式不变性。例4解.d,bsineayxyx求设)bsine(ddaxyx)b(dbcosebsin)a(deaaxxxxxx.d)bsinabcosb(eaxxxx例3解.d),12sin(yxy求设)12sin(ddxy)12(d)12cos(xxxxd2)12cos(.d)12cos(2xx)12(d))12(sin(12xxxxxxxbsindebsindeaa)bd(bcosebsin)ad(eaaxxxxxx例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.).(d)()(sind)2(;dωcos)(d)1(2xxtt,dωcosω)ω(sind)1(ttt)ω(sindω1dωcosttt.dωcos)Cωsinω1(dttt);ωsinω1(dtxxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22,cos42xxx).(d)cos4()(sind22xxxxx课堂回顾1、微分的定义2、可微的条件3、微分的求法.的线性主部叫做函数增量微分ydy).(,)()(000xfAxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数1）计算函数的导数,乘以自变量的微分.2）转化为基本函数的微分。3）利用微分的形式不变性。的微分形式总是函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyx七、微分在近似计算中的应用1.计算函数的近似值;)().1(0附近的近似值在点求xxxf)()(00xfxxfy.)(0xxf.)()()(000xxfxfxxf)(很小时x;0)().2(附近的近似值在点求xxf.,00xxx令,)()()(000xxfxfxxf.)0()0()(xffxf.)()()(000xxfxfxxf)(很小时x.0360coso的近似值计算例6解,cos)(xxf记)(,sin)(为弧度则xxxf,360π,3π0xx取.23)3π(,21)3π(ff由)3603cos(0360coso有3603sin3cos3602321.4924.02.常用近似公式)(很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn为弧度为弧度证明,1)()1(nxxf设,)1(1)(11nxnxf.1)0(,1)0(nffxffxf)0()0()(.1nx()(0)(0).fxffx)(很小时x例7八、小结★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题导数的概念函数的增量问题微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★导数与微分的联系:.可微可导★导数与微分的区别:.,,,))((),()(.10000它是无穷小实际上定义域是它的的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数Rxxxxfdyxfxxf))((limlim0000xxxfdyxxxx.0000000002.,()()(,()),()()()(,()).fxyfxxfxdyfxxxyfxxfxx从几何意义上来看是曲线在点处切线的斜率而微分是曲线在点处的切线方程在点的纵坐标增量近似计算的基本公式,很小时当x00xxxxdyy.)(0xxf),()()()(000xxxfxfxf00,x当时.)0()0()(xffxf.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn为弧度为弧度思考题因为一元函数)(xfy在0x的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.作业P1213.1)3)5)5.1)3)4)