子结构法

子结构法进行上部结构刚度凝聚对于复杂的大型结构，当采用有限元方法进行计算时，一个突出的矛盾就是结构的未知量较多，而计算机的内存总是有限的，解题的规模往往受到限制。为了解决这个矛盾，除了采用不同形式存储整体刚度矩阵和采用不同的方程组解法外，还可以通过结构本身来实现。子结构方法就是求解大型结构的一种有效方法。1．子结构分析的基本思路子结构的概念是单元概念的推广和扩大，即将若干个基本单元装配在一起，组成一个新的结构单元，这个新的结构单元称为原结构的子结构或称为广义单元（大单元）。将一个大型的复杂结构划分为若干个子结构，先分别确定各子结构的刚度特性，然后再将子结构装配成整体结构，最后确定整体结构的刚度特性。这种结构分析的方法称为子结构法。采用子结构分析，可将一个大型问题化为若干各小问题，将大型的联立方程组分解为若干组小型的方程组，从减小计算机的内存，实现微机解大题的作用。图1所示的钢架按照一般有限元解法，共有24各未知节点位移，需解24元的联立方程。如果把两侧钢架各看成一个子结构，则可将原结构看成是由子结构Ⅰ、Ⅱ和杆单元Ⅲ的组合体系。子结构Ⅰ、Ⅱ各有12个未知的结构位移，而组合体系仅有6个未知的结构位移。图1子结构法示意图在所有的结点中，子结构与子结构或子结构与一般单元连接的节点占有重要的地位，这种节点称为交界节点或外部节点，如图1的节点C、B。因此，可以将子结构看成是在外部节点处与组合体系的其他单元连接的广义单元（大单元）。这个广义单元本身就是由若干一般单元组成的，而组合体系则是由若干广义单元与一般单元所组合成的。2．子结构分析的基本思路1)建立子结构外部节点位移与外部节点力之间的刚度关系，由此得到子结构相对于外部结点位移的刚度矩阵。此刚度矩阵简称为子结构外部结点刚度矩阵。2)求出个子结构的刚度矩阵后，按照子结构的外部节点自由度在总刚矩阵的对应自由度上叠加刚度矩阵元素，然后按照有限元的基本方法分析组合体系，从而得到组合体系的全部结点位移，其中包括外部结点位移。3)根据求出的外部结点位移，可求出子结构的全部结点位移，进而求出子结构中各单元的内力。3．可以采用子结构方法的几种情况：1)结构中可以划分处多块相同的部分，可取相同部分的结构作为子结构。相同的子结构块数越多，计算效率越高。2)某些结构中形状或物性的变化存在于局部，而其余部分不变，则可将不变部分的结构划分作为若干个子结构，变化部分划成另外的子结构。当结构变化时只要重新形成其中变化部分的子结构的刚度矩阵，而不必要重新形成全结构的刚度矩阵，从而提高计算效率。3)为提高大型复杂结构的求解效率，可将它划分为若干子结构，先凝聚掉各自的内部自由度，然后再集成为总体求解方程。这样可使求解方程的自由度总数以及相应的系数矩阵的带宽和其中的零元素所占的比例大大缩减，从而提高了计算效率。4．广义单元的形成过程在内部自由度没有凝聚之前，子结构实质上是一个具有相当多内部自由度的超级单元。为了减少系统的总自由度，在子结构与其他子结构或单元联结前，应在子结构内部将自由度凝聚掉。为建立准备凝聚的子结构的系统方程，假定通过适当的结点编号，使子结构的刚度矩阵以及相应的结点位移和荷载列阵可以写成如下分块形式bbbibbibiiiiKKaPKKaP(1)其中ba及ia分别是外部结点和内部结点的位移向量，刚度矩阵以及荷载列阵也分成为与ba及ia相应的分块矩阵。由式(1)的第二式可以得到1()iiiiibbaKPKa(2)将上式带入(1)式第一式，就得到凝聚后的方程为11()bbbiiiibbbbiiiiKKKKaPKKP(3)可以简单地写成如下的形式bbbbKaP(4)其中，1bbbbbiiiibKKKKK(5)1bbbiiiiPPKKP(6)需要指出的是从式(1)经凝聚得到式(4)并不是按式所示的矩阵运算进行的，而是按高斯－约当消去法进行的。如果子结构方程式的阶数为n，iiK的阶数为k，则对于这k个自由度的每一个（设它在方程式中的编号为r）依次作如下步骤的运算：1)第r个方程除以rrK，即使其主元为1；2)对第1～1r个方程进行反响消元，并使121,0rrrrKKKL；3)对第1r～n个方程进行正向消元，并使1,2,0rrrrnrKKKL。对于式(1)，由于iiK排在方程的下方，经上述的k此消元运算以后可以得到如下形式的方程，即0bbbbiibiaKPaKIP(7)式中bbK，bP就是式(4)中经凝聚后的子结构的刚度矩阵和荷载列阵，它经过的消去修正就是式(5)、(6)的要求。ibK、iP是由子结构交界面自由度转换到内部自由度的相关矩阵，它们原来的相应矩阵经过了消去修正就得到1iiiiPKP(8)1ibiiibKKK(9)即式(2)中表示的关系。在从式(7)第一式解得ba以后，代回第2式便可解出ia。上述计算过程形式上是清楚可行得，但它要求特定的结点编号，即每一个子结构外部结点要集中编号，这将不利于得到最小带宽，使得机器内存和计算量不合理的增加。因此必须加以改进。在子结构内按最小半带宽的要求或其他合理的方式进行结点编号，这时结构的内部结点和外部结点便不能集中在一起，一般来说可能集中成若干段。现以ia和ba各分成2段为例，子结构的系统方程为：1111121211111112121121212222222121222222iiibiiibiibibbbibbbbiiibiiibiibibbbibbbbKKKKapKKKKapKKKKapKKKKap(10)通过前述规定步骤的反向、正向的消元计算，将内部结点位移ia的有关刚度矩阵转化为单位矩阵，方程(11)成为111211111211212222212222000000ibibiibbbbbbibibiibbbbbbIKKapKKapKIKapKKap(11)由上式可以求出外部结点位移，即1111221bbbbbbbKaKap(12)2112222bbbbbbbKaKap(13)对于内部结点位移，它们可由外部结点位移求得，即11111122iiibbibbapKaKa(14)22211222iiibbibbapKaKa(15)把子结构看作是一个超级“单元”时，式(12)、(13)可以按一般单元表示的形式为eeeKaP(16)对于现有的“单元”有111211212222eeebbbbbbbbbbbiKKaPKaPKKaP(17)这时仅交界面上的结点自由度作为其与其他单元连接的“单元”自由度，而全部内部自由度都已经凝聚。在由系统求得外部结点自由度后，回到子结构内部，利用式(14)、(15)分别求解各子结构的内部结点自由度。