抛物线的几何性质(课堂版)

定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py一、温故知新1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是()A.圆B.抛物线C.线段D.直线练习解析:(3,5)点在直线2x+3y-21=0上,所以到(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线.D练习：2.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下(1)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,∴当抛物线的焦点为F(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则由=2得p=4,∴所求抛物线方程为x2=-8y.②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴当抛物线的焦点为F(4,0)时,设抛物线方程为y2=2px(p0),则由=4得p=8,∴所求抛物线方程为y2=16x.综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.2p2p题型一求抛物线的标准方程练习3:求适合下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点在直线x-2y-4=0上;（2）求焦点在x轴上,且点A(-2,3)到焦点的距离是5的抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.2222222[]x,y2px(p0),FFA5:2)035,p8p480,p12p4,p12,y24x,6,0,x6,p4,y8x,2,(,0),0,x2.2(2pp解焦点在轴上可设抛物线方程为则焦点为由得即解得或当时抛物线的方程为它的焦点坐标为准线方程为当时抛物线的方程为它的焦点坐标为准线方程为探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。练习4：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845抛物线的几何性质标准方程图形焦点准线)0,2(p)2,0(p)2,0(p)0,2(p2px2px2py2py)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx0x0x0y0y轴x轴x轴y轴y)0,0()0,0()0,0()0,0(1e1e1e1exyoFxyoFxyoFxyoF范围对称轴顶点离心率补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。0020202020122222322422,.(),||;(),||-(),||(),||-PxypypxPFxpypxPFxpxpyPFypxpyPFy抛物线上一点与焦点的连线叫抛物线的焦半径抛物线的焦半径2212225(),_________.(),,____:.yxPPyxABAB抛物线上一点到焦点的距离为则点的坐标标为抛物线上两点到焦点的距离之和是则线段中点横坐标是例17742:,P答案2.:答案KFOxyAB2124,,,..yxABAB斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于两点求线段的长例211221212221212121211610611148222628:,:(,),(,),,,||():||()()AByxxxAxyBxyxxxxABxxxxppABxxxxp解法直线的方程为代入双曲线方程得设则解法112221221221221212223242,,,,,(),||;(),||(),||(),||AxyBxyypxABxxpypxABpxxxpyAByypxpyABpyy抛物线的焦点弦过抛物线焦点的弦叫焦点弦设焦点弦端点则2112212203,,,.|):|.(ypxpFlAxyBxyABxxp已知过抛物线的焦点的直线交抛物例线于两抛物线的焦点弦问题问:点题1求证121222:()()ABAFBFppxxxxp解21122220322.(),,,.,.si:nypxpFlAxyBxyplAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两例抛物线的焦点弦问题问题点若的倾斜角为则222121212222222221202112121:,,,:()tan,,tan:,tan,,tan()tantansinABpABpyplyxxypyppyypyypAByyp解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得解:设1122(,),(,)AxyBxy22(,)xy问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.由2cot22pxyypx消去x并整理得222cot0ypyp11(,)xy∴122cotyyp,212yyp221212()()ABxxyy=2212(1cot)()yy∵焦点(,0)2pF,直线AB的倾斜角为∴直线AB的方程为cot2pxy=221212(1cot)()4yyyy=22sinp与直线的倾斜角无关!11(,)xy11(,)xy问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解:设1122(,),(,)AxyBxy,焦点(,0)2pF11(,)xy22(,)xyMN由抛物线定义可知,FAMAFBNB准线:2plx,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.∴ABFAFB=12xxp∵直线AB的方程为cot2pxy由2cot22pxyypx消去y并整理得222(2cot)0xppxp∴AB=2222cot2sinppp211222303,,,..,.():ypxpFlAxyBxy例抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点焦点弦中通题径最短问2222221221223:sinsin,sin,:;,;.:pABppABpp解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质2112222121234204.(),,,.:.:,ypxpFlAxyBxypxxyyp例抛物线的焦点弦问题问题已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证212221212221212222244:,,,()yypyyxxppyyPxxP解由问题的解法知:211222305,,,..)::(ypxpFlAxyBxyAB已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点求证例抛物以为直线的焦径的圆点弦与问题问题准线相切111111222:,,,,,,,.ABMABMABMAABBAFBFABMM解设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则结论得证211222011236,,,.:.():ypxpFlAxyBxyFAFBp已知过抛物线的焦点的直线交例抛物线于两抛物线的焦点弦问题题点问求证222222111111111222220411112:,,,,,cos,coscoscos,,.:,,(),,()ABxRSlPEREFFRPAFAFAFAFPBFPFAFBplpykxlkypxkpkxpkxpFAFBxx解法过作轴的垂线垂足分别为直线的倾斜角为同理解法若直线的斜率不存在结论显然成立若直线的斜率存设为则222pp2112211113720,,,.,,,,..():ypxpFlAxyBxyABABAFBF已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点过分别作准例抛物线的焦点线的垂弦问题问题线垂足分别为则1111111111111190:,//,,,.AAAFAAFAFAAAOFAAFAFOAFOAFABFOBFBAFBAFBF解同理2112211111121111112221113820123454,,,.,.(,,,,,,();();();(),,,,,;().):ypxpFlAxyBxyABMABMABMAMBMABMFMFAFBFAMAFHBMBFQMQFHAMMBMM已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点设的中点为过分别作准线的垂线垂足分别为则设与交于与交例于则四点共圆抛物线的焦点弦问题问题11111111111111111111111111211111111290903490:(),.(),,,,,,,;();(),,MABAMBMAFBMABAMMFMFAMAFAAFAFAAAFFAMAAMAFAAFMMFABMFAFBFAMBMAMBAFBFAFB解在以为直径的圆上为直角三角形是斜边的中点又11222211222111190524,,,,;()MQFHAMMBABAFBFAABBMMMM四点共圆2112211111120123439,,,.(),,;(),,;(),;(),.(;):ypxpFlAxyBxyAOBBOAAOBBBxBOAAAx已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点三点共线三点共线设直线与准线交于则平行轴设直例抛物线的焦点弦问题线与准线交于则平行题轴问11112221112212221222222234:,,,,,,.(),(),().oAoBoAoByyyypkkpyxyppypyypkkppyAOB解而三点共线同理可证21122312011120,,,.,.():,.||||ypxpFlAxyBxyCDFCDABABCDp已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点若是过的抛物线的另例抛物线的焦点弦问题问题一条弦且则022022222901112:,,:,sin,sin()cos||||ABCDpABppCDABCDp解直线CD的倾斜角为90+由问题的结论211222203211,,,..sin.():