2015年上海市高考数学试卷(文科)附详细解析

第1页（共22页）2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（CUB）=．3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．4．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=．5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．8．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）（2015•上海）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）（2015•上海）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．第2页（共22页）13．（4分）（2015•上海）已知平面向量、、满足⊥，且{||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．14．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分21分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（6分）（2015•上海）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2015•上海）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）（2015•上海）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1B．﹣C．1D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.第3页（共22页）19．（12分）（2015•上海）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）（2015•上海）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）（2015•上海）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；第4页（共22页）（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．23．（18分）（2015•上海）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且．第5页（共22页）2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．解答：解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（CUB）={1，3，4}．考点：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．解答：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x＜3}，∴（∁UB）={x|x≥3或x＜2}，∴A∩（∁UB）={1，3，4}，故答案为：{1，3，4}．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，第6页（共22页）∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=﹣．考点：反函数．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．解答：解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．点评：本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．考点：二阶行列式与逆矩阵．菁优网版权所有专题：矩阵和变换．分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解答：解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．第7页（共22页）点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．考点：棱锥的结构特征．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．考点：抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．解答：解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．考点：对数的运算性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．解答：解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．第8页（共22页）点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）（2015•上海）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．考点：排列、组合的实际应用．菁优网版权所有专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，第9页（共22页）在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）（2015•上海）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240（结果用数值表示）．考点：二项式系数的性质．菁优网版权所有专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．解答：解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）（2015•上海）已知双曲线C