整式的乘法与因式分解知识点及例题

1整式乘除与因式分解一．知识点（重点）1．幂的运算性质：am·an＝am＋n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a)2(－3a2)32．nma＝amn（m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例：(－a5)53．nnnbaab（n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a2b)3练习：（1）yxx2325（2）)4(32bab（3）aab23（4）222zyyz（5）)4()2(232xyyx（6）22253)(631accbaba4．nmaa＝am－n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x8÷x2（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2（4）（-a）7÷（-a）5（5）(-b)5÷(-b)25．零指数幂的概念：a0＝1（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．例：若1)32(0ba成立，则ba,满足什么条件？6．负指数幂的概念：a－p＝pa1（a≠0，p是正整数）任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．也可表示为：ppnmmn（m≠0，n≠0，p为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abcabcba（2）4233)2()21(nmnm8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．2例：（1）)35(222baabab（2）ababab21)232(2（3）)32()5(-22nmnnm（4）xyzzxyzyx)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1xx）（（2）))(2(yxyx（3）2)2nm（练习：1．计算2x3·(－2xy)(－12xy)3的结果是2．(3×108)×(－4×104)＝3．若n为正整数，且x2n＝3，则(3x3n)2的值为4．如果(anb·abm)3＝a9b15，那么mn的值是5．－[－a2(2a3－a)]＝6．(－4x2＋6x－8)·(－12x2)＝7．2n(－1＋3mn2)＝8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝9．(－3x2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝10．在(ax2＋bx－3)(x2－12x＋8)的结果中不含x3和x项，则a＝，b＝11．一个长方体的长为(a＋4)cm，宽为(a－3)cm，高为(a＋5)cm，则它的表面积为，体积为。12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了。10．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y311．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例：练习：1．计算：（1）223247173yxzyx；（2）2232232yxyx；xyxyyx6)63()1(2)5()15105()2(3223ababbaba3（3）26416baba．（4）322324nnxyyx（5）391021042．计算：（1）33233212116xyyxyx；（2）32232512152xyyxyx（3）22221524125nnnnbababa3．计算：（1）234564yxxyyxyx；（2）235616babababa．4.若(ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8,则a=,m=,=;易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；有关多项式的乘法计算出现错误；误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；乘除混合运算顺序出错。12．乘法公式：①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．例1：（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y＋x)(x−3y)；（3）(−m＋2n)(−m−2n)．例2：(1)(x+6)2(2)(y-5)2(3)(-2x+5)24练习：1、4352aa=_______。3222323()2()()xxyxyxy＝______________。2、2323433428126babababa（_____________________）3、222____9(_____)xyx；2235(7)xxx（______________）4、已知15xx，那么331xx=_______；21xx=_______。5、若22916xmxyy是一个完全平方式，那么m的值是__________。6、多项式2,12,2223xxxxxx的公因式是_____________________。7、因式分解：2783x__________________________。8、因式分解：224124nmnm____________________________。9、计算：8002.08004.08131.0_____________________。10、Ayxyxyx)(22，则A=_____________________易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。13．因式分解（难点）因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．5（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．例：（1）323812ababc（2）35247535xyxy2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2例：（1）2220.25abc（2）29()6()1abba（3）42222244axaxyxy（4）22()12()36xyxyzz练习：1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m的值等于_____。2、22)(nxmxx则m=____n=____3、232yx与yx612的公因式是＿4、若nmyx=))()((4222yxyxyx，则m=_______，n=_________。5、在多项式4224222294,4,,tsyxbanm中，可以用平方差公式分解因式的有________________________，其结果是_____________________。6、若16)3(22xmx是完全平方式，则m=_______。7、_____))(2(2(_____)2xxxx8、已知,01200520042xxxx则.________2006x9、若25)(162Mba是完全平方式M=________。10、22)3(__6xxx，22)3(9___xx11、若229ykx是完全平方式，则k=_______。12、若442xx的值为0，则51232xx的值是________。13、若)15)(1(152xxaxx则a=_____。14、若6,422yxyx则xy___。15、方程042xx，的解是________。6易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；分解因式不彻底。中考考点解读：整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：考点1、幂的有关运算例1．（2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（）（A）326aaa（B）235()aa（C）824aaa（D）2224()abab分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.解：根据同底数幂的乘法运算法则知52323aaaa，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知63232)(aaa，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知62828aaaa，所以（C）错；故选（D）.例2.（2009年齐齐哈尔）已知102m，103n，则3210mn____________．分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则mnmnaaa,将指数相加化为幂相乘的形式,再逆用幂的乘方的法则()mnmnaa,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.解：3210mn3232321010(10)102372mnmn（）.考点2、整式的乘法运算例3．（2009年贺州）计算：31(2)(1)4aa=．分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.解：)141()2(3aa＝1)2(41)2(3aaa＝aa2214.考点3、乘法公式例4.(2009年山西省)计算：2312xxx分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.解：2312xxx=2269(22)xxxxx=226922xxxxx=97x.7例5.(2009年宁夏)已知：32ab，1ab，化简(2)(2)ab的结果是．分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（ab）与ab，以便求值.解：(2)(2)ab=422baab=4)(2baab=242321.考点4、利用整式运算求代数式的值例6．（2009年长沙）先化简，再求值：22()()()2abababa，其中133ab，．分析:本题是一道综合计算