二重积分的数值解

-1-二重积分的数值解摘要在定积分数值计算公式的基础上，推广得到矩形区域上二重积分的中点公式、梯形公式和Simpson公式，并对其误差进行了估计。为了减小误差，将上述三个公式运用了复化求积的思想，得到复化中点公式、复化梯形公式和复化Simpson公式，并对其误差进行了估计，由此得到二重积分的自适应复化求积法。最后对复化梯形公式进行了Richardson外推。关键字二重积分；自适应复化求积法；外推算法；误差分析1引言积分的计算是自然科学的中的一个基本问题。如果被积函数存在原函数，则可由牛顿-莱布尼茨公式来实现。但是，在许多实际问题中，被积函数找不到用初等函数表示的原函数，或者被积函数仅由实验测量或数值计算给出的若干离散点上的量值，于是引入了数值积分。一元的数值积分的近似计算已解决[1-2],二重积分的中点公式[3]、梯形公式[4]和Simpson公式[5]也有简单的介绍。本文研究了二重积分的求积公式及其复化公式和外推算法。本文对三重积分也是适用的,最后给出算例验证理论结果。2二重积分的求积公式考虑矩形区域{}:,Daxbcyd≤≤≤≤上的连续函数(,)fxy的二重积分(,)(,).dbDcaIfxydxdyfxydxdy==∫∫∫∫(2.1)2.1中点公式及其截断误差将(2.1)式应用中矩形公式[1]两次,可得：(,)()()(,).22dbcaIfxydxdyabcddcbaf=++≈−−∫∫(2.2)称上式为二重积分的中点公式。下面给出误差的分析，如果(,)fxy在区域D内具有两阶连续偏导数，已知定积分的中点公式的截断误差[2]为：-2-3()()()()(),[,].224baabbafxdxbaffabξξ+−′′−−=∈∫故可以得到:23112(,)()(,)()(,),[,],224bafyabbafxydxbafyabxξξ∂+−−−=∈∂∫(2.3)223322222()(,)()()(,)222()(,)(,)()()()22,[,].2424dcababcdbafydydcbafababbaffdcdcbacdyyηηη+++−−−−++∂−∂−−−==∈∂∂∫(2.4)将(2.3)式关于y在[,]cd上积分，所得结果和(2.4)式相加，可得到中点公式(2.2)的误差为：223321222222112222(,)(,)()()()22424(,)(,)()()[()()].24dcabffybadcbaEdyxyffdcbabadcxyηξξηξη+∂∂−−−=+∂∂∂∂−−=−+−∂∂∫(2.5)其中12,[,]abξξ∈；12,[,]cdηη∈。2.2梯形公式及其误差判断将(2.1)应用梯形公式[1]两次，可得：(,)[(,)(,)]2()()[(,)(,)(,)(,)].4dbcadcIfxydxdybafayfbydybadcfacfbcfadfbd=−≈+−−≈+++∫∫∫(2.6)称上式为二重积分的梯形公式。下面给出误差的分析，如果(,)fxy在区域D上具有两阶连续偏导数，已知定积分的梯形公式截断误差[2]为：3()()[()()](),[,].212bababafxdxfafbfabξξ−−′′−+=−∈∫故可以得到：-3-23112(,)()(,)[(,)(,)],[,],212bafybabafxydxfayfbyabxξξ∂−−−+=−∈∂∫(2.7)2233222222()()()[(,)(,)][(,)(,)(,)(,)]24[(,)(,)][(,)]()()()().12212dcbabadcfayfbydyfacfbcfadfbdfafbfdcbadcbayyηηξη−−−+−+++∂+∂−−−−=−=−∂∂∫(2.8)其中2[a,b]ξ∈；2[,]cdη∈。将(2.7)式关于y在[,]cd上积分，所得结果和(2.8)式相加，可得到梯形公式(2.6)的误差为:2233122222222112222(,)(,)()()()1212(,)(,)()()[()()].12dcfyfbadcbaEdyxyffdcbabadcxyξξηξηξη∂∂−−−=−−∂∂∂∂−−=−−+−∂∂∫(2.9)其中12,[,]abξξ∈；12,[,]cdηη∈。2.3Simpson公式及其误差判断将(2.1)应用Simpson公式[1]两次，可得：(,)[(,)4(,)(,)]62()(){(,)(,)(,)(,)4[(,)(,)3622(,)(,)]16(,)}.2222dbcadcIfxydxdybaabfayfyfbydybadcabcdfacfbcfadfbdfcfacdababcdfbfdf=−+≈++−−++≈++++++++++++∫∫∫(2.10)称上式为二重积分的Simpson公式。下面给出误差的分析，如果(,)fxy在区域D内具有四阶连续偏导数，已知定积分的Simpson公式误差[2]为：4(4)()()[()4()()]()(),[,].621802babaabbabafxdxfaffbfabξξ−+−−−++=−∈∫-4-故,可以得到:44114(,)[(,)4(,)(,)]62(,)()(),[,],1802babaabfxydxfayfyfbyfybabaabxξξ−+−++∂−−=−∈∂∫(2.11)442222()()()[(,)4(,)(,)]{(,)(,)6236(,)(,)4[(,)(,)(,)(,)]222216(,)}22()()()[(,)4(,)(,)]180262(dcbaabbadcfayfyfbydyfacfbcabcdcdabfadfbdfcfafbfdabcdfdcdcbaabfaffbydcηηη−+−−++−++++++++++++++−−−∂+=−++∂−=−∫24244(,))()().1802fbadcyξη∂−−(2.12)其中2[a,b]ξ∈；2[,]cdη∈。将(2.11)式关于y在[,]cd上积分,所得结果和(2.12)式相加,可得到Simpson公式(2.10)的误差为：2442441444444112244(,)(,)()()()()()18021802(,)(,)()()[()()].18022dcffybabadcbadcEdyxyffdcbabadcxyξηξξηξη∂∂−−−−−=−−∂∂∂−−−−=−+∂∂∫(2.13)其中12,[,]abξξ∈；12,[,]cdηη∈。3二重积分的复化求积公式为了提高数值求积的精度,采用复化求积的思想,将区间[,]ab等分成m份,步长1()/hbam=−,等分点1ixaih=+，1i=，2，⋯，m。将区间[,]cd等分成n份,步长2()/hdcn=−,等分点2iycjh=+，1j=，2，⋯，n。在每个小矩形区域ijD上采用低阶的数值求积公式求得近似积分值,并将它们累加求和作为积分I的近似值。-5-3.1复化中点公式及其误差判断将(2.1)式在小矩形区域ijD应用中点公式[1],可得:111100111112001111120011121/21/200(,)(,)(,)22(,)22(,).jijidbnmyxyxjicanmjjiijinmjjiijinmijjifxydxdyfxydxdyyyxxhhfyyxxhhfhhfxy++−−==−−++==−−++==−−++===++≈++≈≈∑∑∫∫∫∫∑∑∑∑∑∑(3.1)其中1/2ix+表示区间1[,]iixx+的中点,1/2jy+表示区间1[,]jjyy+的中点。称上述公式为复化中点公式，并将其记为12(,)Mhh。下面给出误差的分析,如果(,)fxy在D上具有两阶连续偏导数,在小矩形区域ijD应用公式(2.5),得:1111121/21/21111121/21/2002(1)(1)2(2)(2)1122121222002(2112(,)(,)[(,)(,)](,)(,)[]24(24jijidbnmijjicayxnmijjiyxnmijijjiiEfxydxdyhhfxyfxydxdyhhfxyffhhhhxyfhhhξηξηξ++−−++==−−++==−−===−=−∂∂=+∂∂∂=∑∑∫∫∑∑∫∫∑∑1)(1)2(2)(2)21111212220000,)(,).24nmnmjijjijifhhhxyηξη−−−−====∂+∂∂∑∑∑∑(3.2)其中(1)(2)1,[,]iiiixxξξ+∈；(1)(2)1,[,]jjjjyyηη+∈。由于(,)fxy在D上具有两阶连续偏导数，可得：2(1)(1)211112200(,)(,)1,nmijjiffmnxxξηξη−−==∂∂=∂∂∑∑2(2)(2)211222200(,)(,)1.nmijjiffmnyyξηξη−−==∂∂=∂∂∑∑于是可得-6-222211221222(,)(,)()()[].24ffdcbaEhhxyξηξη∂∂−−=+∂∂(3.3)其中12,[,]abξξ∈；12,[,]cdηη∈。经过上面的讨论得：22221122121222(,)(,)()()(,)[].24ffdcbaIMhhhhxyξηξη∂∂−−−=+∂∂(3.4)3.2复化梯形公式及其误差判断将(2.1)式在小矩形区域ijD应用梯点公式[1]，可得:11110011121111001112111100(,)(,)[(,)(,)(,)(,)]4[(,)(,)(,)(,)].4jijidbnmyxyxjicanmijijijijjinmijijijijjifxydxdyfxydxdyhhfxyfxyfxyfxyhhfxyfxyfxyfxy++−−==−−++++==−−++++===≈+++≈+++∑∑∫∫∫∫∑∑∑∑(3.5)称上式为复合梯形公式，并记为12(,)Thh。若记1111(,)(,)(,)(,).ijijijijijTfxyfxyfxyfxy++++=+++下面给出误差的分析，如果(,)fxy在D上具有两阶连续偏导数，在小矩形区域ijD应用公式(2.9)，得：111112001112002(1)(1)2(2)(2)221111121212220000(,)4[(,)]4(,)(,).1212jijidbnmijjicayxnmijjiyxnmnmijijjijihhEfxydxdyThhfxydxdyTffhhhhhhxyξηξη++−−==−−==−−−−=====−=−∂∂=−−∂∂∑∑∫∫∑∑∫∫∑∑∑∑(3.6)其中(1)(2)1,[,]iiiixxξξ+∈；(1)(2)1,[,]jjjjyyηη+∈。由于(,)fxy在D上具有两阶连续偏导数，可得：2(1)(1)211112200(,)(,)1,nmijjiffmnxxξηξη−−==∂∂=∂∂∑∑-7-2(2)(2)211222200(,)(,)1.nmijjiffmnyyξηξη−−==∂∂=∂∂∑∑于是可得:222211221222(,)(,)()()[].12ffdcbaEhhxyξηξη∂∂−−=−+∂∂(3.7)其中12,[,]abξξ∈；12,[,]cdηη∈。经过上面的讨论得：22221122121222(,)(,)()()(,)[].12ffdcbaIThhhhxyξηξη∂∂−−−=−+∂∂(3.8)3.3复化Simpson公式及其误差判断将(2.1)式在小矩形区域ijD应用Simpson公式[3],可得：11110011121111001111111(,)(,){(,)(,)(,)(,)364[(,)(,)(,)222(,)]16(22jijidbnmyxyxjicanmijijijijjijjjjiijiiiiiijfxydxdyfxydxdyhhfxyfxyfxyfxyyyyyxxfyfxfxxxxxfyf++−−==−−++++==+++++++=≈+++++++++++++∑∑∫∫∫∫∑∑1111211110011111111,)}2{(,)(,)(,)(,)364