含绝对值不等式的解法

含绝对值的不等式解法复习绝对值的意义：|x|=X0xX=00X0-x一个数的绝对值表示：与这个数对应的点到原点的距离,|x|≥0Ax1XOBx2|x1||x2|=|OA|=|OB|代数的意义几何意义类比：|x|3的解|x|3的解观察、思考：不等式│x│2的解集方程│x│＝2的解集？为{x│x=2或x=-2}02-2为{x│-2x2}不等式│x│2解集为{x│x2或x-2}02-202-2|x|0的解|x|0的解|x|-2的解|x|-2的解|x|的解15|x|的解15归纳：|x|a（a0)|x|a(a0)-axaXa或x-a-aa-aa如果把|x|2中的x换成“x-1”,也就是|x-1|2如何解？变式例题：如果把|x|2中的x换成“3x-1”,也就是|3x-1|2如何解？题型一:研究|ax+b|()c型不等式在这里，我们只要把ax+b看作是整体可以了，此时可以得到：||||(0)axbccaxbcaxbcaxbcaxbcc或x257.例1解不等式｜｜xxx{61}.｜，或解：由原不等式可得xx257257.，或整理，得xx61.，或所以，原不等式的解集是xx257257.，或例2:解不等式.(1)|x－5|8;(2)|2x+3|1.解:(1)由原不等式可得－8x－58,∴－3x13∴原不等式的解集为{x|－3x13}.(2)由原不等式可得2x+3－1或2x+31,∴x－2或x－1∴原不等式的解集为{x|x－2或x－1}.解题反思：2、归纳型如(a0)|f(x)|a,|f(x)|a不等式的解法。1、采用了整体换元。|f(x)|a-af(x)a|f(x)|af(x)-a或f(x)a例3、解不等式1︱3x+4︱≤6解法一：原不等式可化为：|34634xx|||1102634633534134113xxxxxx或或∴原不等式的解集为：52{1}33xxx或10|-3例3、解不等式1︱3x+4︱≤6解法二：依绝对值的意义，原不等式等价于：-6≤3x+4-1或13x+4≤6∴原不等式的解集为：52{1}33xxx或10|-352133xx解得：或，10-3比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二去掉绝对值符号的依据是：(0)axbaxbaxbaxbbxaa或或-||解不等式|5x-6|6–x变式例题：型如|f(x)|a,|f(x)|a的不等式中“a”用代数式替换，如何解？|x|=xX0-xX≥0思考二：是否可以转化为熟悉问题求解？思考一：关键是去绝对值符号，能用定义吗？思考三：还有什么方法去绝对值符号？|a||b|依据：a2b2解：对绝对值里面的代数式符号讨论：5x-6≥05x-66-x(Ⅰ)或(Ⅱ)5x-60-（5x-6）6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x2解(Ⅱ)得：0x6/5取它们的并集得：（0，2）解不等式|5x-6|6–x(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为5x-66-x，解得x2,所以6/5≤x＜2(Ⅱ)当5x-60,即x6/5时，不等式化为-(5x-6)6-x，解得x0所以0x6/5综合(Ⅰ)、(Ⅱ)取并集得（0，2）解：解不等式|5x-6|6–x解：分析：对6-x符号讨论，当6-x≤0时,显然无解当6-x0时,转化为-(6-x)5x-6(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x0-(6-x)5x-6(6-x)综合得0x2(Ⅰ)或(Ⅱ)6-x≤0无解解(Ⅰ)得：0x2;(Ⅱ)无解题型二|()|()()()()()|()|()()()()fxgxfxgxfxgxfxgxgxfxgx或解不等式：|x2-3|＞2x.例4:绝对值不等式的解法解析:(等价转换法)原不等式x＞3或x＜-1或-3＜x＜1.故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}.03203223232222xxxxxxxx或或练习：把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式。3、|x-1|2(x-3)4、2xx2xx5、|2x+1||x+2|1、|2x-3|5x2、|x2-3x-4|4解：因为|x-1||x-3|所以两边平方可以等价转化为（x-1)2(x-3)2化简整理：x2平方法：注意两边都为非负数|a||b|依据：a2b2解不等式：31xxxaxbcxaxbc题型三：和型不等式的解法125xx例5解不等式，，xxxx，xxxxxx，x：23,2,2,5)2()1(,1,53,5)2()1(,123,,3,5)2()1(,22的解集为综上所述可知原不等式此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法125xx例5解不等式，，。A，，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，，A，，A，，B，：2355511231221111111111式的解集是故原不等的距离之和都大于的任何点到点的右边的左边或点点的距离之和都小于之间的任何点到点与从数轴上可以看到点这时也有右移动一个单位到点向将点同理这时有到点个单位向左移动将点数都不是原不等式的解上的因此区间两点的距离是那么对应的点分别是设数轴上与解法x12-2-3ABA1B1125xx例5解不等式,23,1x,4-2x1x2-2,--2x,6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，xy，xxyxx：yxO-32-2型不等式的解法和）（cbxaxcbxax2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法234xx同步训练：解不等式三、例题讲解例2解不等式|x+1|+|3－x|2+x.解：-13①②③(2)13,10,30,xxx当时(1)(3)2,2.xxxx原不等式变形为即,{|13}{|2}{|12};xxxxxx此时得(1)1,{1};xxx当时原不等式|的解为(3)3,10,30,xxx当时(1)(3)2,4.xxxx原不等式变形为即,{|3}{|4}|;{4}xxxxxx此时得{|2.,4}xxx则原不等式的解或集为,)3()2()1(的结果取并集将、、24例3解不等式|x－1|+|2x－4|＞3+x解:(1)当x≤1时原不等式化为:1－x+4－2x＞3+x12x(2)当1＜x≤2时,原不等式化为:14230xxxx又∵1＜x≤2，∴此时原不等式的解集为φ(3)当x＞2时,原不等式化为44123xxxx综上所述，原不等式的解集为.421|xxx或12①②③12①②③41/2四、练习3.解不等式|x－3|－|x＋1|＜1Ⅰ)x≤－1－(x－3)＋(x＋1)＜1Ⅱ)－1＜x≤3－(x－3)－(x＋1)＜1Ⅲ)x＞3(x－3)－(x＋1)＜1I）的解集为空集；Ⅱ）的解为12＜x≤3；Ⅲ）的解为x＞3综上所述，原不等式的解集为{x|x＞12}．解：使两个绝对值分别为零的x的值依次为x＝3、x＝－1，将其在数轴上标出，将实数分为三个区间．依次考虑，原不等式可以转化为下列不等式组.-13①②③三种方法解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：(1)(0)fxaafxafxa或(2)(0)fxaaafxa(3)()()()fxgxfxgxfxgx或(4)()()()fxgxgxfxgx归纳：(5)fxgx22fxgx五、小结（1）解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转为不含绝对值的不等式。（2）零点分段法解含有多个绝对值的不等式。x1x2②①③1．不等式1＜|x+1|＜3的解集是()A．(0,2)B．(-2,0)∪(2,4)C．(-4,0)D．(-4,-2)∪(0,2)D【解析】原不等式等价于1＜x+1＜3或-3＜x+1＜-1，当堂训练解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.2.解不等式：|3x-1|x+3.1{|2}2xxx或3.解不等式:|2||1|3xx2x