第二节24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件..

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二相等线段：AE=BE⌒⌒⌒⌒弧：AC=BC,AD=BD把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒⌒结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒即直径CD平分弦AB，并且平分AB和ACB.⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧垂径定理几何语言1.定理垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB△在RtAOE中注意：圆心到弦的距离叫弦心距如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒三、推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.·OABCDE若直径平分弦（弦不是直径），则这条直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.归纳：或者说：若直径平分一条不是直径的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言表述：AC=BCCD⊥AB,由CD是直径AE=BE可推得⌒⌒AD=BD⌒⌒ABDEOC图１推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。（简称“知二推三”.）注意判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧1问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？解得：R≈27．3（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.52+（R－7.23）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD25.1823.737ADCDAB所以，由题意知⌒⌒⌒如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．AB=37mCD=7.23m2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方□形.□□2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.DCABO134cm例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO讲解做题小结:解决弦时常用的辅助线：过圆心作弦的垂线、连半径等构造直角三角形，根据垂径定理、勾股定理可解决：弦长、半径、弦心距、弓形高。.CDABOMNE.ACDBO.ABO例3已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等练习5:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。EDOCABDABO53cm1.在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是。⌒小结:通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？本节课学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。今日作业教材87页习题24.11、8、9题