高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题

第1页圆锥曲线基础知识与典型例题第一部分：椭圆1、知识关系网2、基础知识点(1).椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(2).椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形顶点(,0)a,(0,)b(0,)a,(,0)b对称轴x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b焦点1(,0)Fc、2(,0)Fc1(0,)Fc、2(0,)Fc焦距焦距为122(0),FFcc222cab离心率e22=1cbaa(0e1)e越大椭圆越扁第2页第二部分：双曲线1、知识网络2、基本知识点(1)双曲线的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.(2)双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形顶点(,0)a(0,)a对称轴x轴，y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b焦点12(,0),(,0)FcFc12(0,),(0,)FcFc焦距焦距为122(0),FFcc222cab离心率e221cbaa(e1)e越大双曲线开口越大第3页第三部分：抛物线1、知识网络2、基本知识点(1)抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.(2)抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形对称轴x轴x轴y轴y轴焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF顶点原点(0,0)准线2px2px2py2py离心率e1第四部分：圆锥曲线综合问题1.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.方法：直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别第4页是0、0、0.注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论.⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长①当直线存在斜率k时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy，则它的弦长22212121211()4ABxxxxxxkk②当直线斜率不存在时，则12AByy.(3)椭圆、双曲线的通径：22ba（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦）椭圆焦点三角形面积公式：12212tan2FPFFPFSb（点P是椭圆上的点）双曲线焦点三角形面积公式：12212tan2FPFbSFPF（点P是双曲线上的点）(4)抛物线相关结论：抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.（自己可以尝试证明这些结论．．．．．．．．．．．．）若AB是抛物线22(0)ypxp的焦点弦，且11(,)Axy，22(,)Bxy，则有如下结论：①2124pxx，212yyp②1cosPAF，1cosPBF（为AB所在直线倾斜角）③1222sinpABxxp④112AFBFP⑤22sinAOBPS⑥相切：a.以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；b.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切；c.以AF或BF为直径端点的圆与轴相切.2.圆锥曲线问题求解策略:1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。第5页第五部分：圆锥曲线考点、题型、方法题型一：定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合典型例题例1、动圆M与圆221:(1)36Cxy内切,与圆222:(1)4Cxy外切，求圆心M的轨迹方程.例2、方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是例3、12,FF是定点，126FF=，动点M满足126MFMF+=，则M点的轨迹是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段例4、抛物线24yx上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()(A)1716(B)1516(C)78(D)0例5、已知椭圆125222yax)5(a的两个焦点为1F、2F，且8||21FF，弦AB过点1F，则△2ABF的周长为（）（A）10（B）20（C）241（D）414例6、椭圆192522yx的焦点1F、2F，P为椭圆上的一点，21PFPF，则△21PFF的面积为（）（A）9（B）12（C）10（D）8例7、双曲线191622yx右支点上一点P到右焦点的距离为2，则P点到左焦点的距离为（）（A）6（B）8（C）10（D）12例8、抛物线212yx上的一点M到焦点的距离为9，则点M的坐标是题型二：圆锥曲线标准方程特别关注：焦点位置的正确判断（首先化成标准方程，然后再判断，先定位后定量计算）第6页方法要求：熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的标准方程.1、椭圆：由2x、2y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上；2、双曲线：由2x、2y项的系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号正、负决定开口方向。典型例题例9、若方程22112yxmm表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是例10、当k为何值时,方程15922kykx的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线.例11、求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点坐标为2,0，经过点53,22（2）焦点在y轴上，4,1ab（3）10ab，25c例12、求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点坐标为0,6，经过点2,5（2）焦点在x轴上，4,3ab（3）25a，6c例13、求满足下列条件的抛物线的标准方程（1）焦点坐标为0,3（2）准线为14x（3）焦点到准线距离是2第7页例14、若双曲线经过点03，P，2ab=，则双曲线的标准方程为.例15、双曲线离心率为52，与椭圆22194xy有公共焦点，则双曲线的方程为（）A.2214xyB.2214yxC.2214yxD.22145xy例16、过点(2,2)-且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是()A.B.C.D.例17、抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2360xy-+=上，则此抛物线的方程为题型三：圆锥曲线性质1、特别关注：几何性质与图像相结合（首先化成标准方程，先定位、再定量计算）：2、圆锥曲线中离心率，渐近线的求法：(1)a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；(2)a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；(3)注重数形结合思想不等式解法(4)双曲线22221xyab的渐近线方程可以看作是由双曲线方程右边“1”变为“0”直接得到22220xyab，即2222xybyxaba双曲线22221yxab的渐近线方程为22220yxab，即2222yxayxabb(5)与双曲线22221xyab具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220xyab，1222yx12422yx12422xy14222yx14222xy第8页与双曲线22221yxab具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220yxab，再由另外一个条件可求得的值.(6)等轴双曲线(实轴长等于虚轴长22ab=)离心率2e渐近线方程yx方程可以设为22(0)xy，根据另外已知条件可以确定的值.3、典型例题(1)圆锥曲线基本性质例18、已知椭圆的方程为22916144xy，求：该椭圆的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.例19、已知双曲线的方程为22916144xy，求：该双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.例20、已知抛物线的方程为2160xy求：该抛物线的焦点坐标、准线方程.例21、求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知等轴双曲线上一点(3,3)P(2)双曲线离心率为2，点(2,4)P在双曲线上(3)双曲线渐近线为yx，点(1,2)Q在双曲线上第9页例22、椭圆221xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是（）A.14B.12C.2D.4(2)椭圆、双曲线离心率例23、椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则它的离心率为（）A.13B.12C.32D.33例24、直线220xy经过椭圆22221xyab的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为例25、椭圆2222:1xyCab的左、右焦点分别为12,FF，P是C上的点，212PFFF，01230PFF，则C的离心率为例26、双曲线2222:1xyCab的左、右焦点分别为12,FF，P是C上的点，12PFPF，01230PFF，则C的离心率为例27、双曲线2221(0)yxbb的顶点到渐近线的距离为22，则它的离心率为（）A.2B.2C.3D.3例28、双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为52，则C的渐近线方程为（）A.14yxB.13yxC.12yxD.yx例29、已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线的右支上，且124PFPF，则此双曲线的离心率e的最大值为.第10页例30、双曲线22221(0,0)xyabab的焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上，且122PFPF，则此双曲线的离心率的取值范围为.例31、已知双曲线22221xyab的离心率1,2e，则双曲线其中一条渐近线的斜率取值范围是.例32、双曲线22221(0,0)xyabab的焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上，126PFPFa，且12PFF的最小内角为030，则此双曲线的离心率为.例32、已知1F、2F是双曲线22221(0,0)xyabab的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.13例33、已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)D.(2,)例34、椭圆G：22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc，椭圆上存在点M使120FMFM，则椭圆离心率e的取值范围为题型四：圆锥曲线焦点三角形（圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形）1、椭圆焦点三角形面积2tan2bS；双曲线焦点三角形面积2tan2bSa=2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解第11页典型例题例35、椭圆2212516xy上一点P与两个焦点FF12，，且126FPF，则12PFF的面积为.例36、双曲线221