椭圆题型总结(较难)

2017届数学补充材料每天都有好心情^_^1椭圆题型总结一、焦点三角形1.设F1、F2是椭圆12322yx的左、右焦点，弦AB过F2，求1ABF△的面积的最大值。（法一）解：如图，设2(0)xFB，22||||AFmBFn，，根据椭圆的定义，1||23AFm，1||23BFn，又12||2FF，在ΔAF2F1和ΔBF2F1中应用余弦定理，得2222(23)44cos(23)44cosmmmnnn，∴23cosm，23cosn，∴11211||||2()sin22FABBASFFyymn22()sin3cos3cos243sin2sin令sint，所以01t≤，∴21()22tgtttt在(01]，上是增函数∴当1t，即2时，max1()3gt，故1ABF△的面积的最大值为433．（法二）解：设AB：x=my+1，与椭圆2x2+3y2=6联立，消x得(2m2+3)y2+4my-4=0∵AB过椭圆内定点F2，∴Δ恒大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=48(m2+1)1ABFS=|y1-y2|=4322123mm=432221(23)mm令t=m2+1≥1，m2=t-1，则1ABFS=431144tt，t∈[1,+)f(t)=144tt在t∈[1,+)上单调递增，且f(t)∈[9,+)∴t=1即m=0时，ΔABF1的面积的最大值为433。注意：上述AB的设法：x=my+1，方程中的m相当于直线AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。F2F1AOBxyF2F1AOBxy2017届数学补充材料每天都有好心情^_^22.如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN(1)求点P的轨迹方程；(2)若2·1cosPMPNMPN＝，求点P的坐标.解：(1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy(2)由2,1cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN①因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN②将①代入②，得22242(2).PMPNPMPN故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线2213xy上.由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得33,25.2xy即P点坐标为335335335335(,)22222222、（，-）、（-，）或（，-）.二、点差法定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.3.直线l经过点A(1，2)，交椭圆2213616xy于两点P1、P2，（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹．2017届数学补充材料每天都有好心情^_^3解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则116361163622222121yxyx016))((36))((21212121yyyyxxxx…………*∵A(1，2)是线段P1P2的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∴016)(436)(22121yyxx，即922121xxyy。∴l的方程为2)1(92xy，即2x+9y-20=0．（2）设P1P2的中点M(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得yxxxyyk942121，又直线l经过点A(1，2)，∴21ykx，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，∴P1P2的中点的轨迹：221()(1)2151029xy。4.在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OQOP与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l的方程为.2kxy由.12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点，)12(83222kk＞0.解之得：k＜22或k＞22.k的取值范围是,2222,.（2）在椭圆1222yx中，焦点在x轴上，1,2ba，).1,2(),1,0(),0,2(ABBAP2P1yxAO2017届数学补充材料每天都有好心情^_^4设弦PQ的中点为),(00yxM，则).,(100yxOM由平行四边形法则可知：.2OMOQOPOQOP与AB共线，OM与AB共线.1200yx，从而.2200xy由2200abxykPQ得：2122k，.22k由（1）可知22k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k.三、最值问题5.已知P为椭圆2214xy上任意一点，M（m，0）（m∈R），求PM的最小值。目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM，利用二次函数思想求最小值。解：设P(x,y)，PM=22()xmy=22()14xxm=23214xmx=2234()1433mmx，x∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得（1）43m-2，即m32时，(PM)min=|m+2|；（2）-2≤43m≤2,即32≤m≤32时，(PM)min=2933m；（3）43m2，即m32时，(PM)min=|m-2|.说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的点是长轴端点，最大值为a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；6.在椭圆2214xy求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线与直线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。2017届数学补充材料每天都有好心情^_^5解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆2214xy相切，则222014xymxy，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,Δ=0,解得m=22.当m=22时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为|1022|5=210255，此时点P的坐标是(2,22)；当m=-22时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为|1022|5=210255，此时点P的坐标是(2,22)。解法二：设椭圆上任意一点P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2)则P到直线l的距离为|2cos2sin10|5=22sin()1045∴当θ=4时，P到直线l的距离最大，最大为210255此时点P的坐标是(2,22)；当θ=54时，P到直线l的距离最小，最小为210255，此时点P的坐标是(2,22)。说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。7.设AB是过椭圆221925xy中心的弦，F1是椭圆的上焦点，（1）若△ABF1面积为45，求直线AB的方程；（2）求△ABF1面积的最大值。解：（1）设AB：y=kx，代入椭圆221925xy，得x2=211925k=2225259k，∴x1=-x2=2225259k，又，S△ABF1=12|OF1|·|x1-x2|=2|x1-x2|=45，∴|x1-x2|=25，∴2225259k=5，∴k=253，∴直线AB的方程为y=253x。（2）S△ABF1=12|OF1|·|x1-x2|=4·2225259k，∴当k=0时，(S△ABF1)Max=12。▋2017届数学补充材料每天都有好心情^_^68.（2014金山区一模23题）已知曲线)0(1=+:1babyaxC所围成的封闭图形的面积为54，曲线1C的内切圆半径为352.记曲线2C是以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆.设AB是过椭圆2C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点.（1）求椭圆2C的标准方程；（2）若OAmMO=（O为坐标原点），当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；（3）若M是l与椭圆2C的交点，求ABMΔ的面积的最小值.【解答】：(1)C1是以(–a，0)、(0，–b)、(a，0)、(0，b)为顶点的菱形，故，…2分又ab0，解得：a2=5，b2=4，因此所求的椭圆的标准方程为；……4分(2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(k≠0)，A(xA，yA)，令，得，，|OA|2=，…………6分设M(x，y)，由题意得：|MO|2=m2|OA|2，(m0)，即：，因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为，代入上式消去k得：，又x2+y2≠0，整理得：(m0)，……9分当k=0或斜率不存在时，上式仍然成立，2017届数学补充材料每天都有好心情^_^7综上所述，点M的轨迹方程为(m0)…………………10分(3)当k存在且不为零时，由(2)得：，，|OA|2=，由，得：，，|OM|2………13分|AB|2=4|OA|2=，故=………14分≥==，当且仅当4+5k2=5+4k2时，即k=1时，等号成立，此时△ABM的面积的最小值为．…………………16分当k=0时，==，当k不存在时，==，综上所述，△ABM的面积的最小值为．……………………………18分9.设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)AB，，，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（1）若6EDDF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值．（1）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykxk．如图，设001122()()()DxkxExkxFxkx，，，，，，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk．①·····················································································2017届数学补充材料每天都有好心情^_^8由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)77714xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk．所以221012714kk，化简得2242560kk，解得23k或38k．（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点EF，到AB的距离分别为21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(1