Hamilton算子的运算规则

算子的运算规则、算子的运算规则’全达人算子是爱尔兰数学家兼天文学家建议采用的,所以也叫算子。利用它可简化运算过程并使算式书写形式简练,因此在水利工程的技术计算和理论研究中经常用到。但由于是一个矢性微分算子,具有矢量和微分的双重性质,所以乍用起来,多不习惯,在运算时常感困难。因此,分析算子的运算特点,总结其运算规律就成为掌握算子这个数学工具,提高工程计算能力的重要一环。本文首先介绍算子的运算规则及其注意点,并通过典型算例说明运算规则的使用方法,以期对水利科技工作者掌握算子这一工程数学工具有所帮助。由于笔者水平所限,文中不妥之处,、占读者批评指正。一、军算子的运算规则算子在直角坐标系中的表达式为一净夕价口户夕三,万一十、万了一,王式中、、分别为沿轴、轴和乙轴正向的单位矢量。记号读作“纳普拉”或“台尔”,本身并无意义,而是一个微分运算符号,但同时又要当作矢量看待,其运算规则是一夕价夕一户“戈‘一万十’一万一”式中为数性函数。丝沙十一—十夕井一器了川·丈了一六了。二。,丁十十口人剖一异一了一几一·凡’犷·了‘夕夕,本义在写作过程中曾得到找院基础课部叶举梅和土以禹艺师的热情帮助笔者在此表示感谢宁夏农学院学报式中为矢性函数,、、为在轴、轴、轴上的投影。分一气人卜朴人凡告一令了鑫一夕了会一音一寸因此,场论中的梯度、散度和旋度可用算子表示为“,℃二·,。算子八二夕夕口夕可以用算子表示为十尹一叮△二·在利用一双重性质。二列三种算子运算时应当注意下列几点算子的定义表明是一个矢性微分算子,因此它在计算中具有矢性和微分的算子的运算规则表明,作用在一个数性函数或矢性函数上时,其方式只有下一一卜一争、·、。即在“”之后必为数性函数,在“·”与“”之后必为矢性函数,其他的,如、、·等均无意义。三为了在某些公式中使用方便,我们定义如下形式的算子,即协一户峥、峥,一夕夕、··气‘一卜抵十气“夕‘戈‘、二十万于一十“一,王夕二二公一舜十·昊要牢记·今·。·为一微分运算符号,而·为一标量。四算子是线性的,也就是把它用在一个线性组合上,仍然得出相仿的线性组合。即当时,则、·一。为常数,、……为数性函数,、。为矢性函数算子的运算规则……。……二一》一卜一卜·,,……,“·,·……。·‘了少一凡分戊又卫人,……。……。五算子在其微分性质中,服从乘积的微分法则。即如果把用在乘积上乘积灼因子可以是数性函数或矢性函数乘法可以是普通的乘、数量积或矢量积,只要乘出来有意义,共结呆等于在每一因子上各作用一次然后再求总和。即、、、孑山丫、杏咨杏二咨杏·二···二、义又夕幻少然后把所得乘积按照矢量代数规则进行变换,使得算子后面只有一个配上了记号杏的因子,计算之后这个记号就可以不写了。公式中杏表示用在指定的因子上,、、为点函数数性函数或矢性函数,表示乘积普通的乘、数性积或矢性积,只要乘出来有意义。利用算子的这一性质,可简化运算过程。六在V算子的运算中,经常用到三个矢量的混合积公式。-》一,)翻一)~-)-).~争一卜a·(b火C=C·(a又b)=b和二重矢量积公式Xa(9)x(bxe)=(a·e)b一-争洲卜a·b这些公式都有几种写法,例如(10)式中等号右端第一项(e(10)一》~一卜~喊卜一,》a·e)b,还可写为(e.了)寸,言(了.矛),百(万.了)等。因此,在应用这样公式时,就要利用它的这个特点,设法将其中的常天移到V的前面,而使变矢留在V的后面。(七)虽然V具有矢量的形式和性质,但它毕竞不是一个单纯的矢量,在运算过程中,不要随便把它当作一个矢址米处理;否则就会导致错误。因此,在使用V算子时要十心细心。应当指出:尽管在不同的坐标系中,V算子有不同的表达式;但V算子运算规则却与夏夏农学院学报坐标系无关。在正交曲线坐标系中,V算子的表达式为:33_分1夕峥王V二el不禹产一丁二丁一十e,几,一王11沙城i一rl。可万+“s1K3一夕夕叼(11)式中:q,q:q3为曲线坐标;育,、育2、了3为坐标曲线q,、q:、q:上的扔线单位矢量,其正向分别指向q,、q:、q。增加的一侧;其问的相互位置关系除彼此正交外,还构成右手坐标系。H;、HZ、H3为Lame系数,其表达式为Hj二了(萄)“+(一子言i)“十(会)““二‘,2,3)(12)二、守算子运算举例下面我们通过证明V算子在一些物理场中较常用的恒等式和推导正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度以及调和量的表达式米详细说明使用V算子的计算方法。例1。证明V(eu)二CVu(C为常数)、,一,、/份夕宁夕产夕、址’V咬““’“火‘飞咬+J一乡了+“J与云一夕““(13)口U=C—口X下)夕u户‘+‘万了J+c奋艺esk=/夕u寸夕u价夕u份、c气一百牙‘十一,犷’+万百k夕·(夕份刁份夕、万+J一奋y一十胶-,厄.夕”二CV’‘·例2。证明V.(cA)=。V,A(C为常数)(14)一.知一》证:V.(eA)=(i一百贾一+万卜刁、十化-一.。夕Z/-卜一~卜c(A二i+A,j+A:k)夕1下v‘一夕”·J(一‘卜夕户夕一辛夕i一万一+J一万一十k一寿)i+eA,了+cA了),A,一一一二一十“乞、刁Z/yJ口夕一C+夕A二夕A二十C夕Z·(+J口、夕、J/二一+k一汤。任夕J沙Z/\+A,」十A:k)人.刀令A=C一夕X二·(i‘“cV.例3.证明Vx(eA)“eVXA(e为常数)(15)息4Hamilt。n算子的运算规则tk;一人tj?一灯‘t·;一。凡二C卜Ž|一Z叭一.k夕一职A竹””l,‘’含z止一C一y月。..‘p”四.AJ扣.一口JJ一C了.~争证:Vx(eA)主分XeAx=eVX例4。证明V(u士”)=-卜A。Vu土V”(16)证.v(·土一(了二刁X分口份夕、十J蔺厂十k一瓦矛夕恤土”少=(器了+带了+器弓士(登二(了青+了命+了金)·*(了,州扣1+夕”寸夕”户、万歹J十万了胶夕日分,份口、万了+Jse蔽刃+k万牙夕”=Vu士V”。例5。证明V。(A土B)二V,-刁卜A士V(17)居证:V·(A士B)二(一书卜夕价夕份;\一一十1—+k—二Jx一日y一Jz/一争〔(A二士Bx)i+(A,土By)j、.JTk+(A,士B:)二(会*会)+夕B。、士—I口y/夕A,,万二,土了日也、夕y/夕A,.夕B.、十气万厄一土,万玄-/夕Al—十夕X、、,/tk主JX令十瓷)士(会+会十会)+了命+了金)·(A·了*A7了+A:夕户口份;、/。万+J马丁es+“一不于少’气乌-枷一争i+B,j)二V~.争~争例6。证明Vx(A土B)A土V一B一知二VXA士Vx(18)冲·J夕了证:Vx(A土B)=主子XA二士B二夕yA,士B;一)k夕夕ZA:士B,弱宁夏农学院学报冲k-.)了了+一爷尸Ž,一ZŽ刁k夕一匕气”l砚一夕月广户J?一灯拟三刁XA二分cU例7.证明V.=VX一卜(ue)V一》-~争A士VB。~一》c为常矢)斗k、/.了‘、.广?一。?一儿证:V,(·言)=(了主夕X~-》-卜.〔u(e二i+e,j+e:=(了主JX十了命+了+了命+了(ue二i+ue,i+ue:k)=C二塑刁X+cy夕U夕y+c:拱夕Z、.了T.k一.)i+夕U口y一户J+四沙Z弓·一弓卜,一》(e二i,一争.C+c,J+c:U一X夕一夕Z‘、、一一/价夕寸,户a、二气厂万反.十’万歹~十k、,泛少“Vu一~知.C一例8。证明Vx(一扣UC)=Vc为常矢)分cXU斗k了了~侧卜证:Vx(ue)二夕口夕夕XUCx夕yuc了夕ZUC:=(芳·:-+(器二刁u、分—C,11夕Z‘/夕u、一—C二夕y一/一争-)jk/口u夕u、寸+戈一万玄.“1一不万c:夕’~一卜k了些日X!+c峥·JC二r里竺、寻X夕U夕yC了丝夕Ztk)-.)+夕U夕y夕u户、,寸万k尹x吸“二‘-倪卜+crJ+c:算子的运算规则36一一卜刁X钾~卜份口尹口、1一争+J万于一+k-,乏少”jX“Xc。2.、Ur.....‘V例9.证明V(u。)=uV。+。Vu分·1夕/吸\证法(1)V(u。)=夕X份夕份日、+J一与了+胶.石厄一夕u”一)二i夕(u℃)日X一十寸口(u”)Joy份,(u”)+胶一奋玄-/夕℃夕u、寸/夕勺夕u、分_/夕”二戈u~孚又一十”~J,二又一夕‘十、u万歹十”万歹夕J+、u一百三,夕u、份+”一,牙少k/夕℃U皿—一\夕X.-》i+夕”份夕勺份\/,u万一J十一百牙杖夕十”气~百又一-争主十口U夕y价J+些刁Z认户,份夕户;、I=u长‘马又一十’万一十盆百玄一夕U+U火~争夕份,份夕、—十1—+k—】U日x一夕yJz/=uVU+”Vu。证法(2)利用公式(8)求证:V(u”)=杏V(u”)+V(杏杏u勺)4).uV”+勺VuuV”+uVu。〔利用公式(13)运算〕(取掉记号杏得出证明一争例10。证明V·(uA)=uV证法(1)~.)一争·A十Vu·A(22)V.一知(uA)三寻X+了命+了会)+了命十犷青)一知-月卜.州卜·〔u(A:i+A,j+A:k)〕今夕X.~知一》一)·(uA二i+uA,j+uA:k)t·i斗·1Z‘、Ž/‘、、夕(uA二)口X+;(uA,)口y十三丝丝这夕2/夕A二二,u\/夕A,‘口u\“气”飞二+八·‘,了少+火u万歹+八,万了少/夕A,‘夕u\+气u一万+八·毛一奋无~夕宁夏农学院学报37妙叮冷u(夕X~-).A夕八:口A:、_一一十一I十了、x护少沙Z/刀竺+AvJ盖十A:刁UJZA夕、、刃/3)斗k(2一予一》一y”刁+(A二i+A,jA丁卜、/口u+Z生,K/一t—、JXi+口11-户夕U十一—夕Z.-争~一共卜A+A~招》二uV·A+VuVu一一卜A。:VVUU证法(2)利用公式(8)求证:分杏一知咨、V·(uA=V·(uA)+V·(uA)一A一A杏!ˆ争:=uV·二uV·~-)A+VU-A+Vu〔利用公式(14)、(19)运算〕〔取掉记号杏,得出证明〕丈蓄例11。证明V又(uA=uVx证法(l)一卜A+VuX了一书卜夕一吃A-一口洲二”tt-1.‘..夕一、†几竹Ž一口」一。U”一Vx(uA)主口XuA二=「一红11鑫户一业丛毛1了L夕y夕ZJ-。(uAx)夕Z。(uA:)夕X〕了r.ŽLI+一k夕(uA,)夕X口(uA二)口y〕,A_—兰一+A,Jy夕U夕y}.一》r.且..LU十r...l..J一t·Jtk听一Ž1.IA一、.厂ŽŽ,了月·/夕A,‘夕u、~一!U—十八,—一.1入JZ夕Z/-夕Ax歹玄+A,一日旦-一夕Z夕A,U一一~十上气,JX一卿夕X夕A,U一—一夕X夕A+Ay三性刁X了了、/‘、十+争.J、,/分k、、户/口A二U一—一+A二夕U夕y/‘、、/‘、一一一2务)了·(货一口X夕J十戈夕X夕A_、一一~万一少“叮A一灯/汀.、、r....‘U+(A:2旦夕y夕u\价/*一八,孚王-少’十气八二刁性一A.夕Z”竺、了JX/-算子的运算规则+(A,一器一A二一器)了一.)月-各=uVxA+VuxA。〔利用公式(4)运算〕证法(2)、利用公式(8)求证:本杏一VX(uA)=Vx(uA)+Vx(uA)斗A一A毒-.)二uV又A+V土只=uVXA+VuX〔利用公式(15)、(20)运算〕〔取掉记号小,求得证明〕通过例9、10、n三题的两种证明过程可以看出:1.当V算子作用于乘积时,利用公式(8)求解,可使运算过程大大简化。2.利用公式(8)能使运算过程简化的原因,可用V算子的微分性质来解释。算子V三i+了介+了、今是三个数性微分算子一六、夕y犷、的线性组合,而这些数性微分算子是服从乘积的微分法则的,就是当它们作用于两个函数的乘积时,每次只对其中一个因子运算,而把另一个因子看作常数。因此作为这些数性微分算子的线性组合的V,在其微分性质中,自然也服从乘积的微分法则。这就是公式(8)成立的理论依据一卜月-》~~》一争~一卜一争一.争-一卜例12.证明V(A·B)=AX(VXB)+(A·V)B+BX(VXA)+(B·V)A证t一》,-知月-知V(A·B)二V(A(24)〔利用算子的微分性质,应用乘积的微分法