课程随机过程教案B

1/12第1章概论§1.1基本概念1.1.1随机过程设),,(P是概率空间，T是直线上的参数集（可列或不可列的）。若对每一个Tt，)(),(wtwt是随机变量，则称Tttw),,(为该概率空间上的随机过程。在固定时刻t，),(tw是一个随机变量；对应每一个随机变量，有一个概率空间),,(P，即),()(twwt是样本空间w内的一个随机变量。可用分布函数xtwpxFt),()(描述),(tw，这是一阶分布函数。例1.1概率分布为,2/10xP2/11xP，于是概率密度函数为)1(21)(21xxxf1.1.2概率密度函数（PDF:ProbabilityDensityFunction）xxFxftt)()(1.1.3二阶概率分布函数（CDF：CumulativeDistributionFunction）),;,(),(,),(21212211ttxxFxtwxtwPt相应地，PDF为212121)(2121),;,(),;,(xxttxxFttxxftn维CDF表示为),,,;,,,(2121)(nnttttxxxFnnxtwxtwxtwP),(,,),(,),(2211随n，可以获得对),(tw的统计特性起来越精确的描述。1.1.4四种重要的随机过程时间：连续参数和离散参数；状态：连续和离散。2/12§1.2举例例1.2一维随机游动：一质点在X轴上随机随动，0t时在原点，,3,2,1t时在X轴上正向或反向移动一个单位距离，正向移动概率p，负向移动概率q，p+q=1；在时刻n，质点位置为，求的概率分布。解：是一个随机变量。在时刻n，质点移动n次，设其中正向m次，负向n-m次，则mnmqpmnkP因为，2)1()()1(knmkmnm于是，222knknqPknnkP此外，还有二维随机游动，向上、向下或向左、向右随机地移动。例1.3脉冲数字信号，脉宽0T为常数，脉冲幅度)(t是随机变量，可能取值)1,2(，取四个值的概率均1/4。不同周期内的脉冲幅度相互独立，初始脉冲沿u是在),0(0T内均匀分布的随机变量，求)(1t与)(2t间的联合PDF。解：①当021Ttt时，)()(21tt和肯定不处于同一个脉冲内，)()(21tt和相互独立，所以联合PDF为u3/122;122;1121,)(41)(41),(21jijxixxxftt②021Ttt时，)()(211tt和处于不同脉冲内（记为事件C），也可以处于同一脉冲内（记为事CC），且1)()(cCPCP。因此，联合PDF为)(),()(),,(),(21,21,21,212121ccCCCPCxxfCPCxxfxxfctttttt其中，)()(41),()(41)(41),(122,1121,2,122;1121,2121xxixCxxfjxixCxxficCjiCctttt设21tt，且为2t所在脉冲的前沿，于是是],[202tTt上均匀分布的随机变量。因此，)(cP为在],[21tt上出现的概率。于是TttCPCPTttttTttduTCPctt1212211201)(1)()(1)(21即于是，021Ttt的联合概率密度函数为Tttjxixxxfjitt122,122;1121,)(41)(41),(21Tttxxixi12122,111)()(41例1.4设)()cos()(wtAt。其中，A是常数，w是常数，是均匀分布于),(间的一个随机变量。求在t时刻)(t的PDF)(xft。解：在时刻t，)(t对应的随机变量t与的关系为4/12)(1AAwtAttCOS由2)/(11AAddtt于是可得tddfxft)(2)(AxAxA,1212由此可见，)(t的PDF与t无关，是一级平稳过程。例1.5设)(t同例1.4，求t1和t2间的联合PDF。解：首先，将联合概率密度函数分解为),,(),(),;,(1122112121txtxftxfttxxf其中，)cos(),cos(2211wtAxwtAx所以，]cos)(cos[11122AxttwAx或AxttwAx11212cos)(cos[),(11txf在例1.4中给出。该过程是可预测过程，在x1和t1给定条件下，t2时刻取值x2的概率为1，所以)()(),,(221122xxtxtxf因此，)]()([1),;,(222122121xxxAttxxf由此可见，这是一个二阶平稳过程。例1.6在例1.4中的)(t，若A也是个随机变量，服从瑞利分布5/12其它,00,)2/exp()(2yyyyfA并且A与之间相互独立。求二维联合PDF。解：由于A与相互独立，所以2)()(),(2/,2aAAaefafaf设辅助变量)sin(wtAY，原随机变量)cos(wtAX。雅可比为awtawtawtwtAYXJ)cos()sin()sin()cos(),(),(于是，21),(2/),(,,2aaAYXefJyxf其中，222yxa。所以，),(,221),(22,yxyxeyxfYX由此可见，)(t相差2/相位的两点间的联合PDF是联合正态分布的。做边缘积分可得)(21),()(2,2xedyyxfxfxYXX一维PDF是正态的（这与教材（陆）p.35习题4的结果一致）。下面求二维PDF，设)cos()cos(2211wtAxwtAx雅可比为)](sin[)sin()sin()cos()cos(,),(12222121ttwawtawtawtwtAxxJ所以，2),(1),(2/,21,221aAttaeafJxxf6/12其中，)]([sin)](cos[2212212122212ttwttwxxxxA于是，)]([sin]2)(cos2exp[21),(2132121222121,21ttwttwxxxxxxftt其中，1x，2x。由此可见，)(t是二级平稳。例1.7如例1.3的脉冲信号，若脉冲幅度服从正态分布),0(2N，且不同周期内幅度相互独立，求二维联合概率密度函数。解：当021Ttt时，两个时刻肯定处于不同的周期内，即相互统计独立。于是]2exp[21),;,(2222122121xxttxxf当021Ttt时),;,(2121ttxxf]2exp[21)(21)1(2222122112221221xxTttxxeTttx由此可见，一维虽然是正态的，但是二维不一定是正态的。§1.3随机过程的数字特征1.3.1均值（数学期望）dxtxxfdxxxftEtt),()()()(1)(111这种平均叫“集平均”。表示)(t在t1时刻的“摆动中心”。1.3.2方差和标准差（均方根差）dxtxftxtEtEttEtDt),()]([])([)]([)]()([)()(12121212111127/1212t叫方差（二阶中心矩），it叫“标准差”或“均方根差”。表示)(t在t1时刻对于均值)(1t的偏离程度。1.3.3自相关函数212121)()(212121),;,()(),(21dxdxttxxfxxttEttRtt这是“二阶混合原点矩”。1.3.4自协方差函数))(),((),;,()]()][([)]()()][([21212121)()(22112211),(2121ttCovdxdxttxxftxtxttttECtttt当21tt时，21211221)]([)]([),(ttEtttC这是“二阶混合中心矩”。1.3.5相关性两个随机变量)(21和间的相关程度由相关系数r衡量，其定义为22221122112121][][]][[)()(),(EEEEEEEDDCovr（1）当1r时，21和之间存在线性关系，即ba12。因此，21和的联合概率密度函数为))(()()()(),(121111221111221baxxxfxfxxfxxf（2）当r=0时，21和之间“不相关”，是指不存在线性关系，但可以存在其它的非线性关系，因此不一定是独立的；（3）当10r时，21与线性无关。（线性无关不一定是“不相关”）。8/121.3.6一组随机变量间的相关性设有一组随机变量n,,,21，其相关矩阵R的元素jiijER。由)(jiR的非负定性（定理1.2）可知，对于任意n,,,21，有ninjijjiR110也就是022211nnE。（见P.123来至P.14首证明）（1）若存在一组不全为零的n,,,21，使0211nnE则称n,,,21线性相关。（2）若只有当021n时，211nnxE才等于0，则称n,,,21线性无关。实际上，当n,,,21线性无关时，它们的相关矩阵为正定阵，线性相关时为奇异阵，即0R。对于协方差阵也是这样。对于两个随机变量ji和,，线性相关时1r；但是，线性无关并不一定是“不相关”，线性无关与10r对应。例如，cos1和)cos(2（为常数，~U（0，2）），则cos21r；当0或时1r，即21与线性相关；当2时，0r，1与2不相关，即不存在线性关系，然而存在非线性关系12221。1.3.7正交若021E，则1与2正交。而不相关是0),(21Cov，即21E21EE=0。因此，若21和中至少有一个为零均值，则021E，即由“不相关”可得“正交”。例1.8)cos()(wtAt，),(~U；A，w为常数。求)(t的均值和相关函数。解：首先，均值为9/12dwtAtE21)cos()(0)sin(2wtA为常数，与t无关。)()(),(2121ttEttRwAttwAdwtwtwtwtAdwtwtAcos2)](cos[2)]cos()2[cos(421)cos()cos(221221212212由此可见，只与时间差)(21tt有关。称之为“宽平稳随机过程”。例1.9随机电