数列常见题型总结经典(超级经典)

1高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n项和法（知nS求na）11nnnSSSa)2()1(nn例1、已知数列}{na的前n项和212nnSn，求数列|}{|na的前n项和nT1、若数列}{na的前n项和nnS2，求该数列的通项公式。2、若数列}{na的前n项和323nnaS，求该数列的通项公式。3、设数列}{na的前n项和为nS，数列}{nS的前n项和为nT，满足22nSTnn，求数列}{na的通项公式。2.形如)(1nfaann型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,证明213nna21.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.2.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.3.形如)(1nfaann型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例1、在数列}{na中111,1nnannaa)2(n，求数列的通项公式。1、在数列}{na中1111,1nnannaa)2(n，求nnSa与。2、求数列)2(1232,111nannaann的通项公式。34.形如srapaannn11型（取倒数法）例1.已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na练习：1、若数列}{na中，11a,131nnnaaa,求通项公式na.2、若数列}{na中，11a，112nnnnaaaa，求通项公式na.5．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{na}为等差数列;（2）若d=0时，数列{na}为等比数列;（3）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1AacAann,利用待定系数法求出A例1．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na.4练习：1、若数列}{na中，21a,121nnaa,求通项公式na。3、若数列}{na中，11a,1321nnaa,求通项公式na。6.形如)(1nfpaann型（构造新的等比数列）(1)若bknnf)(一次函数(k,b是常数，且0k)，则后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列{}na中，231a，3621naann,求通项na.练习：1、已知数列na中，31a，2431naann，求通项公式na(2)若nqnf)((其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：nnnqaa1，累加即可②若1p时，即：nnnqapa1，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以1nq.即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5来解，5例1.在数列{}na中，521a，且)(3211Nnaannn．求通项公式na1、已知数列na中，211a，nnnaa)21(21，求通项公式na。2、已知数列na中，11a，nnnaa2331，求通项公式na。题型二根据数列的性质求解（整体思想）1、已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；2、设nS、nT分别是等差数列na、nb的前n项和，327nnTSnn，则55ba.3、设nS是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）5、在正项等比数列na中，153537225aaaaaa，则35aa_______。66、已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3.7、在等差数列na中，若4,184SS，则20191817aaaa的值为（）8、在等比数列中，已知910(0)aaaa，1920aab，则99100aa.题型三：证明数列是等差或等比数列A)证明数列等差例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=21.求证：{nS1}是等差数列；B）证明数列等比例1、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN⑴证明：数列1nnaa是等比数列；⑵求数列na的通项公式；题型四：求数列的前n项和基本方法：A）公式法，B）分组求和法1、求数列n{223}n的前n项和nS.7C）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()nnkknnk；nnnn111；例1、求和：S=1+n32113211211例2、求和：nn11341231121.D）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffffE）错位相减法，1、若数列na的通项nnna3)12(，求此数列的前n项和nS.3.21123(0)nnSxxnxx（将分为1x和1x两种情况考虑）