选修4-5-不等式选讲

选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1.(2017课标1，23)已知函数4)(2axxxf，|1||1|)(xxxg．（1）当1a时，求不等式)()(xgxf的解集；（2）若不等式)()(xgxf的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．1答案（1）117{|1}2xx；（2）[1,1]．解析(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1x≤√.所以f(x)≥g(x)的解集为{x|-1≤x≤√}.（2）当[1,1]x时，()2gx．所以()()fxgx的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx．又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，所以(1)2f且(1)2f，得11a．所以a的取值范围为[1,1]．2.(2017课标II，23)已知330,0,2abab证明：（1）55()()4abab；（2）2ab。【答案】(1)证明略；(2)证明略。解析(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为3322323332332432,4abaababbababababab所以38ab，因此2ab。3.【2017课标3，文23】已知函数()fx=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式()fx≥1的解集；（2）若不等式()fx≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】（1）[1,)；（2）5(,]4(1)f(x)=当x-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x2时,由f(x)≥1解得x2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-(|x|-)2+≤,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为(-∞,].源:学科4.【2017江苏，21】网]［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,abcd为实数，且22224,16,abcd证明8.acbd≤答案见解析由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8.5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集．5.【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（I）取绝对值得分段函数,然后作图；（II）用零点分区间法分,,,分类求解,然后取并集试题解析：⑴如图所示：123fxxxyfx1fx11353，，，4133212342xxfxxxxx，≤，，≥1x≤312x32x≥⑵,当,,解得或,当,,解得或或当,,解得或,或综上,或或,,解集为6.【2016高考新课标2文数】已知函数11()||||22fxxx，M为不等式()2fx的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当,abM时，|||1|abab．6.【答案】（Ⅰ）{|11}Mxx；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I）分12x，1122x和12x三种情况去掉绝对值，再解不等式()2fx，即可得集合；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b时，确4133212342xxfxxxxx，≤，，≥1fx1x≤41x5x3x1x∴≤312x321x1x13x113x∴312x32x≥41x5x3x332x∴≤5x13x13x5x1fx∴11353，，，定21a和21b的符号，从而证明不等式1abab成立.试题解析：（I）12,,211()1,,2212,.2xxfxxxx当12x时，由()2fx得22,x解得1x；当1122x时，()2fx；当12x时，由()2fx得22,x解得1x.所以()2fx的解集{|11}Mxx.（II）由（I）知，当,abM时，11,11ab，从而22222222()(1)1(1)(1)0ababababab，因此|||1|.abab【名师点睛】形如||||xaxbc(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a，(,]ab，(,)b(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)xaxbcc的几何意义：数轴上到点1xa和2xb的距离之和大于c的全体，|||||()|||xaxbxaxbab.(3)图象法：作出函数1||||yxaxb和2yc的图象，结合图象求解．7.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知函数()|2|fxxaa．（I）当2a时，求不等式()6fx的解集；（II）设函数()|21|gxx．当xR时，()()3fxgx，求a的取值范围．7.【答案】（Ⅰ）{|13}xx；（Ⅱ）[2,)．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式|()|()hxaahxa，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）根据条件可首先将问题转化求解fxgx的最小值，此最值可利用三角形不等式求得，再根据恒成立的意义建立简单的关于a的不等式求解即可．试题解析：（Ⅰ）当2a时，()|22|2fxx.解不等式|22|26x，得13x，因此，()6fx的解集为{|13}xx.（Ⅱ）当xR时，()()|2||12|fxgxxaax|212|xaxa|1|aa，当12x时等号成立，所以当xR时，()()3fxgx等价于|1|3aa.①当1a时，①等价于13aa，无解；当1a时，①等价于13aa，解得2a，所以a的取值范围是[2,).8．[2014·江西卷]x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．8．[0，2][解析]|x|＋|x－1|≥1，|y|＋|y－1|≥1⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2⇒|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2⇒|x|＋|x－1|＝1，|y|＋|y－1|＝1⇒0≤x≤1，0≤y≤1⇒0≤x＋y≤2.9．[2014·辽宁卷]设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.9．解：(1)f(x)＝3x－3，x∈[1，＋∞），1－x，x∈（－∞，1）.当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤43，故1≤x≤43；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.所以f(x)≤1的解集340xxM(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16x－142≤4，解得－14≤x≤34，因此N＝3441xx，故M∩N＝340xx.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝14－x－122≤14.10．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．10．解：(1)证明：由a0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－（x－a）＝1a＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5得3a5＋212.当0a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5得1＋52a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.11．[2014·全国新课标卷Ⅰ]若a＞0，b＞0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？请说明理由．11．解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，当且仅当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于436，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.12.[2014·陕西卷]A.(不等式)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．12．5[解析]由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即5(m2＋n2)≥25，当且仅当an＝bm时，等号成立，所以m2＋n2≥5.13.（15年新课标2文科）设均为正数,且.证明：（I）若,则；（II）是的充要条件.13.解：（I）因为14.（15年陕西文科）已知关于的不等式的解集为(I)求实数的值；(II)求的最大值.14.【答案】(I)；(II).【解析】试题分析：(I)由，得，由题意得，解得；(II)柯西不等式得，当且仅当即时等号成立，故.试题解析：(I)由，得则，解得,,,abcdabcdabcdabcdabcdabcd222,2,abababcdcdcdxxab{|24}xx,ab12atbt3,1ab4xabbaxba24baba3,1ab31234tttt2222[(3)1][(4)()tt244tt413tt1tmin3124ttxabbaxba24baba3,1.ab(II)当且仅当即时等号成立，故31234tttt2222[(3)1][(4)()tt244tt413tt1tmin3124tt