一元非线性回归分析

案案案例例例目目目标标标函函函数数数可可可线线线性性性化化化的的的曲曲曲线线线回回回归归归建建建模模模与与与分分分析析析1曲线回归常用的非线性目标函数及其线性化的方法在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的，那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计?解决这一问题的基本思路是：对于曲线回归建模的非线性目标函数)(xfy，通过某种数学变换)()(xuuyvv使之“线性化”化为一元线性函数buav的形式，继而利用线性最小二乘估计的方法估计出参数a和b，用一元线性回归方程ubavˆˆˆ来描述v与u间的统计规律性，然后再用逆变换)()(11uuxvvy还原为目标函数形式的非线性回归方程.下面给出常用的非线性函数及其线性化的方法.⑴倒幂函数xbay1函数图象0123456789100102030405060线性化方法令xuyv1,，则buav.⑵双曲线函数1bayx函数图象01234567891000.20.40.60.811.21.40123456789100.050.0550.060.0650.070.0750.080.0850.090.0950.1b0b0线性化方法令xuyv1,1，则buav.⑶幂函数byax函数图象01234567891068101214161820222426012345678910024681012141618200123456789100500100015002000250030003500b00b1b1线性化方法令lnvy，lnux，则buav.⑷指数函数bxyae函数图象01234567891005010015020025001234567891000.511.5b0b0线性化方法令lnvy，ux，则buav.⑸倒指数函数bxyae函数图象00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.111.21.41.61.822.22.42.62.800.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10.40.50.60.70.80.91b0b0线性化方法令lnvy，1ux，则buav.⑹对数函数lnyabx函数图象00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-100.010.020.030.040.050.060.070.080.090.133.544.555.566.577.58b0b0线性化方法令vy，lnux，则buav.⑺S型曲线1xyabe函数图象-5051000.10.20.30.40.50.60.70.80.91线性化方法令1vy，xue，则buav.2曲线回归方程的评价方法对于可选用回归方程形式，需要加以比较以选出较好的方程，常用的准则有：⑴决定系数2R定义SSTSSER12，称为决定系数.显然21R.2R大表示观测值iy与拟合值ˆiy比较靠近，也就意味着从整体上看，n个点的散布离曲线较近.因此选2R大的方程为好.⑵剩余标准差s定义)2/(nSSEs称为剩余标准差.s类似于一元线性回归方程中对的估计.可以将s看成是平均残差平方和的算术根，自然其值小的方程为好.其实上面两个准则所选方程总是一致的，因为s小必有残差平方和小，从而2R必定大.不过，这两个量从两个角度给出我们定量的概念.2R的大小给出了总体上拟合程度的好坏，s给出了观测点与回归曲线偏离的一个量值.所以，通常在实际问题中两者都求出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归.⑶F检验（类似与一元线性回归中的F检验）)2/(1/nSSESSRF,其中niiyySST12)(，niiiyySSE12)ˆ(，SSESSTSSR.3范例与MATLAB实现【例6.2】为了解百货商店销售额x与流通率（这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见下表）.表销售额与流通费率数据样本点x─销售额（万元）y─流通费率（%）12345671.54.57.510.513.516.519.57.04.83.63.12.72.52.48922.525.52.32.2绘制散点图x=[1.5,4.5,7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];y=[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];sdt(x,y)05101520253022.533.544.555.566.57???拟合倒幂函数曲线nlin1(x,y)拟合曲线方程是y=2.2254+7.6213/x剩余标准误差Sy=0.42851可决系数R=0.96733'方差来源''偏差平方和''自由度''方差''F值''F临界值''显著性''回归'[18.7146][1][18.7146][101.9186][5.5914]'**''剩余'[1.2854][7][0.1836][][12.2464][]'总和'[20][8][][][][]0510152025302345678?????????拟合幂函数曲线nlin3(x,y)拟合曲线方程是y=8.5173x^-0.42589剩余标准误差Sy=0.146可决系数R=0.99626'方差来源''偏差平方和''自由度''方差''F值''F临界值''显著性''回归'[19.8508][1][19.8508][931.2285][5.5914]'**''剩余'[0.1492][7][0.0213][][12.2464][]'总和'[20][8][][][][]0510152025302345678?????????拟合指数函数曲线nlin5(x,y)拟合曲线方程是y=2.3957exp(1.7808/x)剩余标准误差Sy=0.6497可决系数R=0.92318'方差来源''偏差平方和''自由度''方差''F值''F临界值''显著性''回归'[17.0452][1][17.0452][40.3812][5.5914]'**''剩余'[2.9548][7][0.4221][][12.2464][]'总和'[20][8][][][][]0510152025302345678?????????拟合对数函数曲线nlin6(x,y)拟合曲线方程是y=1632.5-1.713log(x)剩余标准误差Sy=0.2762可决系数R=0.98656'方差来源''偏差平方和''自由度''方差''F值''F临界值''显著性''回归'[19.4660][1][19.4660][255.1773][5.5914]'**'剩余'[0.5340][7][0.0763][][12.2464][]'总和'[20][8][][][][]0510152025301234567?????????【说明】函数nlin1，nlin2，nlin3，nlin4，nlin5，nlin6，nlin7分别用来拟合第一（倒幂函数）、二（双曲线）、三（幂函数）、四（指数函数）、五（倒指数函数）、六（对数函数）、七（S型曲线）种类型曲线求非线性回归的回归方程函数，并在同一个图形中绘制散点图和回归线图.这几个函数的调用方式相同，以第一个函数为例[S,Sy,r2,table]=nlin1(x,y)输入参数x,y是长度相等的两个向量.输出参数个数可选如果没有输出参数，则在命令窗口中显示回归线方程,剩余标准误差、可决系数、方差分析表，并绘制散点图和拟合曲线图.如果有输出参数，第一个输出参数是拟合曲线方程.如果有两个输出参数，第二个输出参数是剩余标准误差Sy.如果有三个输出参数，第三个输出参数是可决系数.如果有四个输出参数，第四个输出参数是方差分析表.